Локален екстремум на функция на две променливи

[хава]

Да се определят локалните екстремуми/мин и мах/на функция на две лпроменливи и градиентът на функцията в т М/1; -2/

Z(x;y)=x^{2}+y^{3}+3y^{2}+6xy

[aifC]

[tex]z = x^{2}+y^{3}+3y^{2}+6xy;[/tex]

[tex]z'_{x} = 2x+6y;[/tex]
[tex]z'_{y} = 3y^{2}+6y+6x;[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x+6y = 0 \\ 3y^{2}+6y+6x = 0 \end{array} \Rightarrow A (-12,4), B(0,0);[/tex]

[tex]z''_{xx} = 2; z''_{xy} = 6; z''_{yy} = 6y+6;[/tex]

[tex]\Delta = z''_{xx} \cdot z''_{yy} - (z''_{xy})^{2} = 12y-24;[/tex]

[tex]\Delta(A) = 22>0 \Rightarrow extr. , z''_{xx}(A)=2 > 0 - min.[/tex]
[tex]\Delta(B) = -24<0 \Rightarrow \cancel{extr.}[/tex]
[tex]\Delta(M) = -48<0 \Rightarrow \cancel{extr.}[/tex]

[tex]z_{min}(A) = 144+64+48-288 = -32;[/tex]

[Добромир Глухаров]

$\vec{grad}(z)|_M=z'_x(1;-2)\vec{i}+z'_y(1;-2)\vec{j}=-10\vec{i}+6\vec{j}$

Посоката на този вектор определя посоката на най-бързото нарастване на функцията $z(x;y)$ в точка М, а големината му - $\sqrt{(-10)^2+6^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$ - големината на това най-бързо нарастване.