Лява и дясна точка на сгъстяване

[aifC]

Нека [tex]A[/tex] е неизброимо множество върху правата. Да се докаже че съществува точка [tex]a[/tex] от правата, представляваща едновременно лява и дясна точка на сгъстяване за [tex]A[/tex].

[Genie_Almo]

Предварително се извинявам, ако решението звучи прекалено лаишки. Не се занимавам професионално с математика, но задачата ми се стори интересна и в изминалия вече ден посветих известно време да се запозная поне с някои основни видове множества и техни свойства (в Уикипедия ). Използвам определение за точка на сгъстяване почерпено от същия източник: Точката x се нарича точка на сгъстяване за E, когато всяка нейна ε - околност съдържа точки от E, различни от x.
https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B3%D1%8A%D1%81%D1%82%D1%8F%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B5

Ето какво измислих.

Първо забелязваме, че ако множеството $A$ може да се съпостави еднозначно с множеството на реалните числа $R$ (биекция е коректният термин ако правилно съм разбрал), или с думи прости запълва цялата права, то всяка точка от $A$ е точка на сгъстяване, доколкото множеството на реалните числа е гъсто в себе си.

Нека да разгледаме другия случай ($A$ не запълва цялата права) - това ще означава, че от $A$ съществува биекция с подмножество на $R$, доколкото $A$ е разположено върху права, върху която може да се разположи цялото множество на $R$.

Допускаме противното: За никоя точка $a$ от правата не съществува двойка точки от $A$, различни от $a$ и поединично разпределени в лявата и дясната околност на $a$. В частност това означава, че нито една точка от $A$ не е точка на ляво или дясно сгъстяване за $A$. От това следва, че съществува константа $\alpha$, такава че [tex]\alpha>\epsilon>0[/tex] и за всяка точка $e\in A$ в интервала $(e-\alpha,e+\alpha)$ няма други точки от $A$. Ако няма такава константа, това ще означава, че има поне две точки от $A$, които са произволно близко една до друга (разстоянието между тях ще е по-малко от $\epsilon$ за всяко $\epsilon>0$). Поради свойството на $R$ да бъде гъсто в себе си, ще има друга точка от правата, която се намира между произволно близките точки на $A$, не съвпада с нито една от тях и следователно ще бъде точка на ляво и дясно сгъстяване за $A$, което противоречи на нашето допускане. Тази константа $\alpha$ обаче превръща множеството $A$ в дискретно, тъй като всяка негова точка $e$ е изолирана в околността $(e-\alpha,e+\alpha)$. А всяко дискретно множество в Евклидово пространство е изброимо (а правата е такова пространство с единична размерност), което прави нашето допускане в началото невалидно.

Доказателства, че всяко дискретно множество върху правата е изброимо:

1) Съществува точка $o$ от $R$, такава че $o\notin A$. Следователно можем да индексираме елементите на $A$ на следния принцип: Първият елемент $e_{1}$ е най-близкия до $o$ отдясно. Вторият елемент $e_{2}$ е най-близкия до $o$ от ляво; третия елемент $e_{3}$ е втория най-близък отдясно, четвъртия $e_{4}$- съответно втория най-близък отляво и т.н. Нечетните индекси обхождат последователно елементите вдясно от точката $o$, а четните - тези отляво. Това индексиране по същество показва биекция на $A$ в множеството на естествените числа (определението за изброимост на множество е да има биекция в множеството $N$). А пък аз чак сега осъзнавам абстрактността на понятията "най-близък" и "следващ" и, че тези понятия са присъщи на дискретни множества. Затова може би това доказателство не е съвсем изчистено.

Следващото е строго.

2) Множеството $Q$ на рационалните числа е гъсто в $R$. Следователно на всеки елемент от дискретното множество може по единствен начин да се съпостави някое рационално число от неговата околност. С други думи, за всяко дискретно множество съществува биекция в подмножество на $Q$. А този прекрасен човек Кантор е демонстрирал чрез неговия диагонален метод, че множеството $Q$ е изброимо.

[aifC]

Не съм решил още задачата, но и на мен ми се стори интересна затова я споделих с аудиторията.Ще вметна само че като подсказка е казано следното: Ще наречем точка [tex]a[/tex] лява (дясна) точка на сгъстяване за [tex]A[/tex], ако съществува редица [tex]{a_{n}}[/tex] от елементите на [tex]A[/tex], такава че [tex]\lim_{n \to \infty}(a_{n}) = a;[/tex], както и [tex]a_{1} < a_{2}..... (a_{1} > a_{2} > ......)[/tex].

[Genie_Almo]

Ще се радвам да споделиш решението като го откриеш. Ако може като допълнение и няколко думи за това как Канторовото множество се вписва в този модел, защото за него се твърди, че е едновременно неизброимо и няма области на сгъстяване.

[ptj]

Твърдение: Нека J е множество от отворени интервали от реални числа. Нека j1≠j2∈J⇒j1∩j2=∅. Тогава J е най-много изброимо.