Обратима матрица

[thebedlovesyou]

Здравейте,
задачата ми е следната свързана с матрицата, която съм прекачила като файл:
За кое a[tex]\in[/tex]R следната матрица е обратима? Дайте за това a обратната матрица [tex]A^{-1}[/tex] .

Благодаря

[aifC]

При [tex]a=1[/tex] получаваме:

[tex]A = \begin{pmatrix}1 & 4 & 3\\-1 & 2 & 0\\1 & 3 & 4\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix}1 & 4 & 3 {|} 1 & 0 & 0\\-1 & 2 & 0 {|} 0 & 1 & 0\\1 & 3 & 4{|} 0 & 0 & 1\end{pmatrix} R_{1} \times (-1) \rightarrow R_{2}[/tex]

[tex]\begin{pmatrix}1 & 4 & 3 & 1 & 0 & 0\\0 & 6 & 3 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} (-1) \times R_{1} \rightarrow R_{3} \Rightarrow \begin{pmatrix}1 & 4 & 3 & 1 & 0 & 0\\0 & 6 & 3 & 1 & 1 & 0\\0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1\end{pmatrix} R_{2} \times \frac{1}{6}[/tex]

[tex]\begin{pmatrix}1 & 4 & 3 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 0\\0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 1\end{pmatrix} (-1) \times R_{2} \rightarrow R_{3} \Rightarrow \begin{pmatrix}1 & 4 & 3 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 0\\0 & 0 & \frac{3}{2} & -\frac{5}{6} & \frac{1}{6} & 1\end{pmatrix} R_{3} \times \frac{2}{3}[/tex]

[tex]\begin{pmatrix}1 & 4 & 3 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{5}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}; \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 0 \\-\frac{5}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}[/tex]

[KOPMOPAH]

За да съществува обратна матрица на дадената
$$A = \left(\begin{matrix}a & - a + 5 & - a + 4\\a - 2 & - a + 3 & - a + 1\\- a + 2 & a + 2 & a + 3\end{matrix}\right)$$
трябва детерминатата ѝ да е различна от нула.
Детерминатата на $A$ е:
$$\operatorname{det}{\left (A \right )} = 9 a \Rightarrow a\ne 0$$
Дотук отговорихме на първия въпрос - кога матрицата е обратима, а именно за $\forall a \in R$ с изключение на $0$.

Колегата aifC е дал едно много добро решение за една допустима стойност на параметъра $a$

Аз бих добавил, че елементите $c_{ij}$ на обратната матрица $C=A^{-1}$ се намират по формулата, използваща алгебричните допълнения (адюнгираните количества или както и да ги наричат сега)
Например първият елемент $$c_{11} = \frac{\operatorname{det}{\left (A_{11} \right )}}{\operatorname{det}{\left (A \right )}}$$ при $$A_{11} = \left|\begin{matrix}- a + 3 & - a + 1\\a + 2 & a + 3\end{matrix}\right|$$ е
$$c_{11}=\frac{a + 7}{9a}$$
Съответно
$A_{12} = \left|\begin{matrix}a - 2 & - a + 1\\- a + 2 & a + 3\end{matrix}\right|, \ \ \ c_{12} = \frac{\operatorname{det}{\left (A_{12} \right )}}{\operatorname{det}{\left (A \right )}}= \frac{4 a - 8}{9a}$
$A_{13} = \left|\begin{matrix}a - 2 & - a + 3\\- a + 2 & a + 2\end{matrix}\right|, \ \ \ c_{13} = \frac{\operatorname{det}{\left (A_{13} \right )}}{\operatorname{det}{\left (A \right )}}= \frac{5 a - 10}{9a}$
$A_{21} = \left|\begin{matrix}- a + 5 & - a + 4\\a + 2 & a + 3\end{matrix}\right|, \ \ \ c_{21} = \frac{\operatorname{det}{\left (A_{21} \right )}}{\operatorname{det}{\left (A \right )}}= \frac{7}{9a}$
$A_{22} = \left|\begin{matrix}a & - a + 4\\- a + 2 & a + 3\end{matrix}\right|, \ \ \ c_{22} = \frac{\operatorname{det}{\left (A_{22} \right )}}{\operatorname{det}{\left (A \right )}}= \frac{9 a - 8}{9a}$
$A_{23} = \left|\begin{matrix}a & - a + 5\\- a + 2 & a + 2\end{matrix}\right|, \ \ \ c_{23} = \frac{\operatorname{det}{\left (A_{23} \right )}}{\operatorname{det}{\left (A \right )}}= \frac{9 a - 10}{9a}$
$A_{31} = \left|\begin{matrix}- a + 5 & - a + 4\\- a + 3 & - a + 1\end{matrix}\right|, \ \ \ c_{31} = \frac{\operatorname{det}{\left (A_{31} \right )}}{\operatorname{det}{\left (A \right )}}= \frac{a - 7}{9a}$
$A_{32} = \left|\begin{matrix}a & - a + 4\\a - 2 & - a + 1\end{matrix}\right|, \ \ \ c_{32} = \frac{\operatorname{det}{\left (A_{32} \right )}}{\operatorname{det}{\left (A \right )}}= \frac{- 5 a + 8}{9a}$
$A_{33} = \left|\begin{matrix}a & - a + 5\\a - 2 & - a + 3\end{matrix}\right|, \ \ \ c_{33} = \frac{\operatorname{det}{\left (A_{33} \right )}}{\operatorname{det}{\left (A \right )}}= \frac{- 4 a + 10}{9a}$

В крайна сметка обратната матрица $A^{-1}$ би трябвало да изглежда така $$A^{-1} = \left(\begin{matrix}\frac{a + 7}{9a} & \frac{4 a - 8}{9a}& \frac{5 a - 10}{9a}\\ \frac{7}{9a}& \frac{9 a - 8}{9a} & \frac{9 a - 10}{9a}\\ \frac{a - 7}{9a}&\frac{- 5 a + 8}{9a}&\frac{- 4 a + 10}{9a}\end{matrix}\right)$$

P.S. Възможно е да съм допуснал грешки в знака на нечетно число места (по Дирак )