Намерете а

[aifC]

Ако:
[tex]\lim_{x \to \infty}\left(sec \frac{2a}{x}\right)^{3x^{2}} = e^{5}[/tex];

Намерете:
[tex]a \in \mathbb{R}[/tex];

[grav]

Ако не съм сбъркал в сметките [tex]a=\frac56[/tex]. Това найстина ли е от състезание?

[aifC]

Имаш грешка Някъде от интернет я изрових.

[Hephaestus]

[tex]\lim_{x \to \infty}(sec\frac{2a}{x})^{3x^{2}} = e^{5}[/tex]

Виждайки дясната страна, става ясно, че за решението трябва да се използва добре известната граница [tex]\lim_{x \to \infty}(1+\frac{t}{x})^{x} = e^{ t}[/tex]

Аз подходих по следния начин. Разглеждаме лявата страна:
[tex]\lim_{x \to \infty}(sec\frac{2a}{x})^{3x^{2}} = \lim_{x \to \infty}(1 + sec\frac{2a}{x} - 1)^{3x^{2}} = \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{cos\frac{2a}{x}} - 1)^{3x^{2}} = \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1 - cos\frac{2a}{x}}{cos\frac{2a}{x}})^{3x^{2}} = \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1 - (1 - 2sin^{2}\frac{a}{x})}{1 - 2sin^{2}\frac{a}{x}})^{3x^{2}}[/tex]

Еквивалентната функция на [tex]sinx[/tex] e [tex]x[/tex] [tex]\Rightarrow sin\frac{a}{x}[/tex] ~ [tex]\frac{a}{x} \Rightarrow[/tex]

[tex]\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1 - (1 - \frac{2a^{2}}{x^{2}})}{1 - \frac{2a^{2}}{x^{2}}})^{3x^{2}} = \lim_{x \to \infty}(1+\frac{2a^{2}}{x^{2} - 2a^{2}})^{3x^{2}} = \lim_{x \to \infty}(1+\frac{2a^{2}}{x^{2}(1 - \frac{2a^{2}}{x^{2}})})^{3x^{2}}[/tex]

При [tex]x \rightarrow \infty[/tex] ([tex]a \in R[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{2a^{2}}{x^{2}} \rightarrow 0 \Rightarrow[/tex]

[tex]\lim_{x \to \infty}(1+\frac{2a^{2}}{x^{2}})^{3x^{2}} = \lim_{x \to \infty}(1+\frac{6a^{2}}{3x^{2}})^{3x^{2}} \Rightarrow e^{6a^{2}} = e^{5} \Rightarrow 6a^{2} = 5 \Rightarrow a =\pm \sqrt{\frac{5}{6}}[/tex].

[aifC]

Ето и моето решение:

[tex]e^{\lim_{x \to \infty} (sec \left(\frac{2a}{x}\right)-1)3x^{2}} = e^{\lim_{x \to \infty}3x^{2}\left(\frac{1-cos \frac{2a}{x}}{cos \frac{2a}{x}}\right)} =[/tex]

[tex]e^{\lim_{x \to \infty}3x^{2}\left(1-cos \frac{2a}{x}\right)} = e^{\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6sin^{2}\frac{a}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}\right)} = e^{6a^{2}}[/tex]

[tex]e^{5} = e^{6a^{2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt{\frac{5}{6}};[/tex]