Намерете сбора А+В

[aifC]

[tex]S_{n} = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{i-1} \sum_{k=0}^{j-1} (i+j+k)[/tex]

[tex]\frac{1}{S_{3}} + \frac{1}{S_{4}} + \frac{1}{S_{5}} + ..... = A - \frac{2\pi^{2}}{B}[/tex]

[tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са положителни цели числа.

[grav]

Условието не изглежда добре. Когато [tex]i=0[/tex] сумата по [tex]j[/tex] е от [tex]0[/tex] до [tex]-1[/tex].

[aifC]

От : [tex]\sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)}{2} \Rightarrow[/tex]

[tex]S_{n} = \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i-1} ij+j^{2} + \frac{(j-1)j}{2};[/tex]

[tex]S_{n} = \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i-1} ij + \frac{3j^{2}}{2} - \frac{j}{2};[/tex]
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
От : [tex]\sum_{i=0}^n i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \Rightarrow[/tex]

[tex]S_{n} = \sum_{i=0}^{n-1} i \left[\frac{(i-1)i}{2}\right] + \frac{3}{2} \left[\frac{(i-1)i(2i-1)}{6}\right] - \frac{(i-1)i}{4};[/tex]

[tex]S_{n} = \sum_{i=0}^{n-1} i^{3} - \frac{3i^{2}}{2} + \frac{i}{2};[/tex]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
От : [tex]\sum_{i=0}^n i^{3} = \left[\frac{(n+1)n}{2}\right]^{2} \Rightarrow[/tex]

[tex]S_{n} = \frac{(n-1)^{2}n^{2}-(n-1)n(2n-1)+(n-1)n}{4}[/tex]

[tex]S_{n} = \frac{(n-1)n[(n-1)n-(2n-1)+1]}{4}[/tex]

[tex]S_{n} = \frac{(n-1)n[(n^{2}-3n+2)]}{4}[/tex]

[tex]\boxed{S_{n} = \frac{n(n-2)(n-1)^{2}}{4}}[/tex]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Търсим:
[tex]S = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{S_{n}};[/tex]

[tex]S = 4 \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n(n-2)(n-1)^{2}}[/tex]

[tex]S = 4 \left[\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n}\right) - \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(n-1)^{2}}\right][/tex]

Първата сума телескопира и остават само първите два периода на първата дроб, а за втората сума прилагаме :[tex]m = n-1[/tex]

[tex]S = 4 \left[\frac{1}{2} \left(1+\frac{1}{2}\right) - \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^{2}}\right][/tex]

[tex]S = 4 \left[\frac{3}{4} - \left(\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^{2}}-1 \right) \right][/tex]

[tex]S = 4 \left[\frac{7}{4} - \frac{\pi^{2}}{6} \right][/tex]

[tex]\boxed{S = 7 - \frac{2\pi^{2}}{3}} \Rightarrow[/tex]

[tex]A=7, B=3, \boxed{A+B=10}[/tex]