Намерете к

[aifC]

[tex]k \in \mathbb{R} -\{-1\}[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{1-k}\sum_{j=1}^{n}j^k}{\sum_{j=1}^{n}(nk+j)} = \frac{1}{60}[/tex]

[pipi langstrump]

С Щолц или с индукция сe намира, че сумата от j^k делено на n^(k+1) клони към 1/(k+1), другото са сметки

Сам ли си ги измисляш тия "задачи"?

[aifC]

Не, каквото ми хареса от "Интернет задачите" го споделям с аудиторията.Все пак решението би било добре да се види.

[pipi langstrump]

Аха
Ами решението е хамалогия и не виждам много смисъл да бъде писано. 'Прobлемната' сума j^k, клони към 1/(k+1), когато се умножи с n^(k+1), а долната сума е ар. прогресия и значи трябва да на намерим граница на частно на някакви полиноми, което е елементарно и накрая да решим някакво елементарно уравнение за k

[pipi langstrump]

Наум: умножаваме горе и долу с (n+1)^(k+1) и при граничния преход на сумата j^k получаваме множител 1/(k+1), който изнасяме пред lim. Вътре остава: горе (n+1)^2, ,долу kn^2 +n(n+1)/2. Старшия коефициент горе е 1, а долу k +1/2. Получаваме кв. уравнение za k

[tex]\frac{1}{(k+1)(k+1/2)} = \frac{1}{60}[/tex]

[aifC]

Малко сметки и реализация на идеята на pipi langstrump

С индукция: [tex](n+1)^{k+1} = (k+1)\sum_{j=1}^{n}j^{k} + O(n^{k}) \Rightarrow \boxed{\sum_{j=1}^{n}j^k = \frac{(n+1)^{k+1}}{k+1} + O(n^{k})}[/tex]
Тогава:
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^{1-k} \cdot \left[\frac{(n+1)^{k+1}}{(k+1)}+O(n^{k)}\right]}{nk\sum_{j=1}^{n}1 + \sum_{j=1}^{n}j}[/tex]

[tex]= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{1-k} \cdot \left[\frac{(n+1)^{k+1}}{(k+1)}\right]}{n^{2}k + \frac{n^{2}+n}{2}}[/tex]

[tex]= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^{2}+4n+2}{(2k^{2}+3k+1)n^{2}+(k+1)n} = \frac{2}{2k^{2}+3k+1}[/tex]

[tex]\frac{2}{2k^{2}+3k+1} = \frac{1}{60} \Rightarrow 2k^{2}+3k - 119 = 0 \Rightarrow k = 7, -8.5[/tex]

[Kre4etalo]

Трябва да се внимава с отрицателните стойности. Асимптотичната формула не е вярна. Съответно [tex]k=-8.5[/tex] не е решение.

[pipi langstrump]

Правилно. За отрицателни k < -1 редът j^k е сходящ и За такива стойности на k, се вижда, че границата е безкрайност. Значи -8,5 наистина не е решение. (Но за -1<k<=0 vсичко е точно, защото е приложима теоремата на Цезаро-Щолц).