Четири матрици

[Kre4etalo]

Нека [tex]A,B,C,D[/tex] са четири квадратни матрици с реални числа от един и същ ред, за които са изпълнени равенствата
[tex]A^t=BCD, \ B^t=CDA, \ C^t=DAB, \ D^t=ABC[/tex].
Да се докаже, че [tex](ABCD)^2=ABCD[/tex].

[matst]

Нека [tex]I[/tex] е единичната матрица и [tex]E=ABCD[/tex].
В сила е следното:
1. [tex]E=AA^T=E^T[/tex]
2. [tex]E^3=ABCDABCDABCD=D^TC^TB^TA^T=E^T=E[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]E^3=E[/tex]

Доказвам, че матрицата [tex]E+I[/tex] е обратима.
Наистина, нека допуснем, че е необратима.
Следователно, съществува вектор [tex]v\ne0[/tex] такъв, че [tex]Ev=-v[/tex]
Значи, [tex]AA^Tv=-v[/tex] от където следва, че [tex]A^Tv\ne0[/tex] и
се извежда противоречие
[tex]0<(A^Tv,A^Tv)=(AA^Tv,v)=(EV,v)=-(v,v)<0[/tex].
Така, твърдението е доказано.

От [tex]E^3=E[/tex] следва, [tex]0=E^3-E=(E^2-E)(E+I)[/tex]
и от обратимостта на [tex]E+I[/tex] следва [tex]E^2-E=0[/tex].