2А+3=?

[aifC]

[tex]\begin{cases} f(x) = (x^{1958} + x^{1957}+2)^{1959} = a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n} \\ A = a_{0} - \frac{a_{1}}{2} - \frac{a_{2}}{2} +a_{3} - \frac{a_{4}}{2}- \frac{a_{5}}{2} + a_{6} - ...\end{cases}[/tex]

[Kre4etalo]

Скрит текст: покажи

Полиномът е от степен [tex]n=1959\cdot 1958[/tex], която се дели на 3. Виждаме, че [tex]\sum_{i=0}^{n}a_i=f(1)=4^{1959}[/tex]. Нека [tex]\omega_1=e^{\frac{2\pi i}{3}}, \ \omega_2=e^{\frac{4\pi i}{3}}[/tex] са комплексните трети корени на единицата. Тогава използвайки равенствата [tex]\omega_1^d+\omega_2^d+1^d=3[/tex], когато [tex]d[/tex] се дели на [tex]3[/tex] и [tex]0[/tex] иначе, получаваме [tex]f(\omega_1)+f(\omega_2)+f(1)=3\sum_{3|i} a_{i}[/tex]. Пресмятаме [tex]f(\omega_1)=f(\omega_2)=1[/tex]. Използвайки намерените [tex]\sum_{3|i} a_{i}=\frac{4^{1959}+2}{3}[/tex] и [tex]\sum_{3|i} a_{i}+\sum_{3\cancel{|}i} a_{i}=4^{1959}[/tex] и преобразувайки [tex]A=\sum_{3|i} a_{i}-\frac{1}{2}\sum_{3\cancel{|}i} a_{i}[/tex] получаваме [tex]A=1[/tex].

Тази схема за пресмятане на сумата от коефициентите пред степените делящи се на [tex]3[/tex] е стандартна. Използва се например за пресмятане на реда на от [tex]\frac{1}{(3n)!}[/tex] или за сумата на биномните коефициенти [tex]{n \choose 3d}[/tex].

[aifC]

Точно така, и израза е ясно че е равен на 5. Следващата ще е по-трудна