Шоколад

[aifC]

Разчупваме шоколадово блокче с дължина 1 на 3 части. Независимо и на случаен принцип избираме 2 точки от шоколада, изчислете произведението от дължините на тези 3 части.

[grav]

Какво имаш предвид под да се изчисли? Да се изчисли очакванта стойност на прозиведението ли?

Сигурно съм сбъркал в сметките и не ми се проверява, но получавам нещо доста странно [tex]\frac1{252}[/tex].

[KOPMOPAH]

Ако разчупим това парченце на три по-малки с дължини $a$, $b$ и $c$, за тях ще е в сила неравенството на Коши $$\sqrt[3]{abc}\le \frac {a+b+c}3 $$ откъдето следва, че максимумът на произведението е $\frac 1{27}$ при равенство на дължините.
Според мен произведението няма как да е константа и въпросът, както е формулиран, е с неопределен отговор

[aifC]

Аз разсъждавах така:
Да предположим че шоколада може да бъде нарязан на [tex]N[/tex] отделни точки и две от които са [tex]\frac{a}{N}[/tex] и [tex]\frac{a+b}{N}[/tex],
където [tex]0 \le a \le a+b \le N[/tex]. Тогава шоколада е нарязан в три дължини: [tex]\frac{a}{N}, \frac{b}{N}[/tex] и [tex]\frac{N-a-b}{n} = 1 - \frac{a}{N} - \frac{b}{N}[/tex]
Тогава тяхното произведени ще бъде:[tex]\frac{a}{N} \cdot \frac{b}{N} \cdot \left(1 - \frac{a}{N} - \frac{b}{N} \right);
Знаем че: [tex]0 \le a \le N[/tex], както и [tex]0 \le b \le N-a[/tex], знаейки това можем да сумираме произведенията на дължините за всички възможни двойки [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex]: [tex]\sum_{a=0}^{N}\sum_{b=0}^{N-a}\frac{a}{N}\frac{b}{N}\left(1 - \frac{a}{N} - \frac{b}{N} \right)[/tex];
За да се получи очакваният резултат ,то той трябва да бъде разделена на общия брой сумирани стойности: [tex]\frac{N(N+1)}{2}[/tex];

За [tex]N[/tex]: [tex]\lim_{N \to \infty}\frac{2\sum_{a=0}^{N}\sum_{b=0}^{N-a} \frac{a}{N} \frac{b}{N}\left(1 - \frac{a}{N} -\frac{a}{N} \right)}{N(N+1)} \Rightarrow \lim_{N \to \infty}\frac{2\sum_{a=0}^{N}\sum_{b=0}^{N-a} \frac{a}{N} \frac{b}{N}\left(1 - \frac{a}{N} -\frac{a}{N} \right)}{N^{2}}[/tex]

Правим субституция [tex]x = \frac{a}{N}[/tex] и [tex]y = \frac{b}{N}[/tex], тогава [tex]dx = dy = \frac{1}{N}[/tex], превключваме към интеграла.

[tex]\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1-x} 2xy(1-x-y)dydx = \boxed{\frac{1}{60}}[/tex]

[pal702004]

И аз с интеграли, нещо геометрическите интерпретации ми бягат.

$\int\limits_0^1 \left(\int\limits_0^x y(x-y)(1-x)dy+\int\limits_x^1 x(y-x)(1-y)dy\right)dx=\frac{1}{60}$