Най-малкото число n

[aifC]

Нека [tex]a_{n}[/tex] е редица дефинирана от рекурентната връзка:[tex]a_{1}=7[/tex] и [tex]a_{n+1}=7^{a_{n}} \forall n \in \mathbb{N}[/tex].Кое е най-малкото число [tex]n[/tex] такова че: [tex]7^{n} \equiv a_{2018}(mod 10^{8})[/tex]?

[aifC]

Отбелязваме че: [tex]7^{2} \equiv 1\ (mod\ 16)[/tex], което означава: [tex]7^{2^{n}} \equiv 1\ (mod\ 2^{n+3})[/tex] за всички цели числа [tex]n \ge 1[/tex].По същия начин:[tex]7^{4} \equiv 1\ (mod\ 25) \Rightarrow 7^{4 \times 5^{n}} \equiv 1\ (mod\ 5^{n+2}) \forall n \ge 0[/tex].

По този начин разбираме:[tex]7^{10^{n}} \equiv 1\ (mod\ 10^{n+2}) \forall n \ge 2[/tex].Досещаме се и за : [tex]7^{20} \equiv 1\ (mod\ 1000)[/tex]
Нека [tex]a_{n}={}^{(n)}7 \Rightarrow a_{2} = 7^{7} \equiv 3\ (mod\ 20)[/tex] и следователно [tex]a_{3} = 7^{3} \equiv 343\ (mod\ 1000)[/tex].
Тогава:

[tex]\begin{array}
\ a_{3} & \equiv & 43\ (mod\ 10^{2}) & \Rightarrow a_{4} & \equiv & 7^{43} \equiv 2343\ (mod\ 10^{4}) \\
a_{4} & \equiv & 343\ (mod\ 10^{3}) & \Rightarrow a_{5} & \equiv & 7^{343} \equiv 72343\ (mod\ 10^{5})\\
a_{5} & \equiv & 2343\ (mod\ 10^{4}) & \Rightarrow a_{6} & \equiv & 7^{2343} \equiv 172343\ (mod\ 10^{6})\\
a_{6} & \equiv & 72343\ (mod\ 10^{5}) & \Rightarrow a_{7} & \equiv & 7^{72343} \equiv 5172343\ (mod\ 10^{7})\\
a_{7} & \equiv & 172343\ (mod\ 10^{6}) & \Rightarrow a_{8} & \equiv & 7^{172343} \equiv 65172343\ (mod\ 10^{8})\end{array}[/tex]

Освен това:
[tex]a_{n} \equiv 7^{172343}\ (mod\ 10^{8}) \Rightarrow a_{n} \equiv 65172343\ (mod\ 10^{8}) \Rightarrow a_{n} \equiv 172343\ (mod\ 10^{6})\\
\Rightarrow a_{n+1} \equiv 7^{172343}\ (mod\ 10^{8})[/tex].

Следователно:
[tex]a_{n} \equiv 7^{172343}\ (mod\ 10^{8}) \forall n \ge 8.[/tex]Използвайки този факт: [tex]7^{10^{6}} \equiv 1\ (mod\ 10^{8})[/tex], резултата показва че:[tex]7^{500000} \equiv 1\ (mod\ 10^{8})[/tex].Така, че най-малкото позитивно цяло число [tex]n[/tex]такова че:[tex]a_{2018} \equiv 7^{n}\ (mod\ 10^{8})[/tex] е [tex]\boxed{172343}[/tex].