Сума от квадратите на решения

[aifC]

Намерете сумата от квадратите на всички реални решения над уравнението.

[tex]4x^{2} - 40 \lfloor x \rfloor + 51 = 0[/tex]

[pal702004]

Да разгледаме функциите $f(x)=4x^2-40\lfloor x \rfloor+51$ и $g(x)=4x^2-40x+51$

Тъй като по определение $\lfloor x \rfloor \le x$, то $f(x) \ge g(x) \;\forall x \in \mathbb{R}$

Тоест, за да е изпълнено $f(x)=0$ е необходимо $g(x)\le 0$

$g(x)\le 0$ при $x \in \left[\frac 3 2; \frac{17}{2}\right]$

Тогава $\lfloor x \rfloor \in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$

Проверяваме решенията на уравнението $4x^2-40\lfloor x \rfloor+51=0$ за всяка една от горните възможности за непротиворечивост. Непротиворечиви са

$x^2=\frac{29}{4};\frac{189}{4};\frac{229}{4};\frac{269}{4}$

Сборът им е $179$

[aifC]

И аз толкова получих по следния начин :
[tex]4x^{2} - 40 \lfloor x\rfloor +51 = 0[/tex]
[tex]x = \sqrt{10 \lfloor x\rfloor -12.75}[/tex]Отбелязваме че: [tex]x = \lfloor x\rfloor + \{x\}\\[/tex]
[tex]\Rightarrow \{x\} = \sqrt{10 \lfloor x\rfloor -12.75} - \lfloor x\rfloor[/tex] Също така: [tex]0 \le \{x\} < 1\\[/tex]
[tex]\Rightarrow 0 \le \sqrt{10 \lfloor x\rfloor -12.75} - \lfloor x\rfloor < 1 \\[/tex]
[tex]\lfloor x\rfloor \le \sqrt{10 \lfloor x\rfloor -12.75} < \lfloor x\rfloor + 1 \\[/tex]
[tex]\lfloor x\rfloor^{2} \le 10\lfloor x\rfloor - 12.75 < \lfloor x\rfloor^{2}+ 2\lfloor x\rfloor +1 \\[/tex]

[tex]\implies \begin{cases} \lfloor x \rfloor^{2} -10\lfloor x \rfloor +12.75 \le 0 \implies (\lfloor x \rfloor -1.5)(\lfloor x \rfloor - 8.5) \le 0 \implies 2 \le \lfloor x \rfloor \le 8\\
\lfloor x \rfloor^{2} - 8\lfloor x \rfloor +13.75 > 0 \implies (\lfloor x \rfloor -2.5)(\lfloor x \rfloor - 5.5) > 0 \implies \lfloor x \rfloor \le 2 \cup \lfloor x \rfloor \ge 6 \end{cases}[/tex]

[tex]\implies \lfloor x \rfloor = \begin{cases}2 \implies x^{2} = 10(2) - 12.75 = 7.25\\
6 \implies x^{2} = 10(6) - 12.75 = 47.25\\
7 \implies x^{2} = 10(7) - 12.75 = 57.25\\
8 \implies x^{2} = 10(8) - 12.75 = 67.25 \end{cases}[/tex]

[tex]7.25 + 47.25 + 57.25 + 67.25 = \boxed{179}[/tex]