Минимална възможна стойност

[aifC]

Нека функцията [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] е дефинирана :

[tex]f(x) = \begin{cases}sinx, &\text{Ако}\ a < x \le b \\ |x-c|-d, &\text {Ако}\ x \le a\ \text{или}\ x > b. \end{cases}[/tex]

Дадено е че [tex]a,b,c,d[/tex] са реални числа и [tex]f[/tex] е диференцируема за всяка реална стойност на [tex]x[/tex].Да се намери минималната възможна стойност за: [tex]|\lfloor a + b + c + d \rfloor|[/tex]

[aifC]

Първо дефинираме функцията : [tex]|x - c|- d[/tex]

[tex]|x - c| - d \begin{cases} - x + c - d& x < c \\ x - (c + d) & x \ge c\end{cases}[/tex]

Графиката на функцията е с координати на върховете: [tex](c, -d)[/tex]; Функцията [tex]sinx[/tex] e винаги диференцируема в своята област, докато [tex]|x - c|- d[/tex] има една точка на недеференцируемост при върха си: [tex]x = c[/tex]; За да направим [tex]f[/tex] диференцируема [tex]c[/tex] трябва да лежи между [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], диференцирането ще се изпълни, само когато лявата производна е равна на дясната производна.
При [tex]a[/tex]:
Лява производна = [tex]cos a[/tex], Дясна производна = [tex]-1[/tex];
[tex]\implies cos a = -1[/tex];
[tex]\implies a = (2k + 1)\pi , k \in \mathbb{Z}[/tex];
По същия начин и при [tex]b[/tex]:
Лява производна = [tex]-1[/tex], Дясна производна = [tex]cos b[/tex];
[tex]\implies cos b = 1[/tex]
[tex]\implies b = 2n\pi, n \in \mathbb{Z}[/tex];
Наблюдавайки [tex]sin a[/tex] и [tex]sin b[/tex], двете са [tex]0[/tex], следователно [tex]f(a)[/tex] и [tex]f(b)[/tex] са: [tex]0[/tex];


Докато [tex](b,0)[/tex] удоволетворява [tex]f(x) = x - (c + d)[/tex]
[tex]\implies 0 = b - (c + d)[/tex]
[tex]\implies b = c + d[/tex]
По този начин изискваният израз: [tex]|\lfloor a + b + c + d\rfloor| = |\lfloor a + b + b\rfloor|[/tex]
[tex]= |\lfloor a + 2b\rfloor|[/tex]
[tex]= |\lfloor(2k + 1 + 4n)\pi \rfloor|[/tex]

Докато [tex]|\lfloor(2k + 1 + 4n)\pi \rfloor|[/tex] образува минимум, трябва да е близо до [tex]0[/tex];
Тъй като имаме: [tex]a < b[/tex]
[tex]\implies (2k + 1) < 2n \implies k < n[/tex].
Забелязваме че за [tex]n = 1[/tex], [tex]k = -2[/tex] след субституция:
[tex]|\lfloor(2 \times (-2) +1 + 4 \times 1)\pi \rfloor| = |\lfloor \pi \rfloor| = |3| = 3;[/tex]
[tex]|\lfloor a + b + c + d\rfloor| = \boxed{3}[/tex]