Сума на всички к-та

[aifC]

Нека [tex]k[/tex] е положително цяло число. Намерете сумата от всички [tex]k[/tex], които са решение на уравнението:

[tex]n^{4} + 3n^{3} + n^{2} + 2n + 13 = k^{2}[/tex], за някое целочислено [tex]n[/tex]

[Kre4etalo]

Записваме във вида [tex](n^2+n+3)(n^2+2n-4)=(k+5)(k-5)[/tex]. Ако [tex]n[/tex] е четно, лявата страна се дели на 4, но не и на 8, докато дясната се дели на 8. Значи [tex]n[/tex] е нечетно. Записваме във вида [tex]\left(n^2+\frac{3n-1}{2}+\frac{n-7}{2}\right)\left(n^2+\frac{3n-1}{2}-\frac{n-7}{2}\right)=(k+5)(k-5)[/tex]. Да разгледаме по-общото уравнение [tex](a+t)(a-t)=(k+5)(k-5)[/tex], където си мислим, че [tex]a=n^2+\frac{3n-1}{2}[/tex] и [tex]t=\frac{n-7}{2}[/tex], и тези числа са цели ([tex]n[/tex] е нечетно). Понеже [tex]k>n^2[/tex], то [tex]t^2<k[/tex]. [tex]a<0[/tex] само при [tex]n=-1[/tex], което не е решение, затова ще считаме, че [tex]a>0[/tex]. Случаите [tex]t^2<25[/tex] се свеждат до (10-тина) случая за [tex]n[/tex], всеки от които не ни дава решение
Ще докажем, че ако [tex]5\le |t|<\sqrt{k}[/tex], то за да има решение уравнението [tex](a+t)(a-t)=(k+5)(k-5)[/tex] в цели числа, е необходимо [tex]t=5[/tex] или [tex]t=-5[/tex].
Доказателство. Да допуснем, че [tex]|t|>5[/tex]. Тогава, понеже [tex]a[/tex] е цяло, [tex]a\ge k+1[/tex]. Също така [tex]t^2=-k^2+a^2+25[/tex], но [tex]t^2<k[/tex], откъдето [tex]k^2+k-a^2-25>0[/tex], което няма как да е изпълнено, понеже [tex]a\ge k+1[/tex] (и [tex]k>0[/tex]).
Това означава, че [tex]\frac{n-7}{2}=\pm 5[/tex], откъдето намираме решенията [tex](n,k)=(-3,2)[/tex] и [tex](n,k)=(17,314)[/tex].

[aifC]

Така:
[tex]k = n^{2} + \frac{3}{2}n + \frac{a}{2}[/tex]; След преработка : [tex](4a+5)n^{2}+(6a-8)n+(a^{2}-52) = 0[/tex]
След това нека установим някакви граници за [tex]a[/tex], полинома достига минимум при: [tex]n = \frac{4 - 3a}{4a + 5}[/tex],прилагайки тази стойност [tex]\implies \frac{4(a^{3} - a^{2} - 46a -69)}{4a + 5}[/tex]; Очевидно е положително ,ако [tex]a[/tex] е поне [tex]8[/tex]. (Числителя се увеличава и е положителен при [tex]a=8[/tex]).Ако минималната стойност на лявата страна е положителна, то тогава няма решение, така че: [tex]a \le 7[/tex];
За отрицателната:
[tex]n^{4} + 3n^{3} + n^{2} + 2n + 13 - (n^{2} + \frac{3}{2}n - 1)^{2} = \frac{3}{4}n^{2} + 5n + 12[/tex], което е положително, така че [tex]k[/tex] положителния корен квадратен на: [tex]n^{4} + 3n^{3} + n^{2} + 2n + 13[/tex] е строго по-голям от:[tex]n^{2} + \frac{3}{2}n - 1[/tex], което ни навежда на мисълта за: [tex]a \ge -1[/tex] Всичко което остава е да приложим стойности на [tex]a = -1,0,...,6,7[/tex] в уравнението и да видим дали има целочислени решения. Стигаме до заключението че само при [tex]a = -1[/tex] имаме решение. Тогава [tex]n = -3, 17;[/tex]
[tex]\implies k = 4, 314 \Rightarrow k = \boxed{318}[/tex]

[Kre4etalo]

Понеже [tex]k>n^2[/tex], то [tex]t^2<k[/tex].

Това невинаги е вярно. Всъщност правилното трябва да излгежда така -
Понеже [tex]k>\frac{n^2}{2}[/tex] (с изключение на [tex]n=-3[/tex], което е решение), и [tex]t^2<\frac{n^2}{2}[/tex] (с изключение на [tex]n\in[-16,2][/tex]), то [tex]t^2<k[/tex]. Нататък се продължава по същия начин, но трябва да се проверят и тези десетина случай ([tex]n[/tex] е нечетно), някои от които се припокриват с другите.

[pal702004]

Метод "между съседни квадрати".

$f(n)=4n^4+12n^3+4n^2+8n+52=(2k)^2$

$f(n)=(2n^2+3n-1)^2-n^2+14n+51$

$f(n)>(2n^2-3n-2)^2\;\forall n\in \mathbb{R}$

$f(n)<(2n^2-3n)^2\;\forall n \in \left(-\infty;\frac{4-2\sqrt{69}}{5}\right)\cup \left(\frac{4-2\sqrt{69}}{5};\infty\right)$

Случаите $-2 \le n\le 4$ се проверяват, както и $f(n)=(2n^2+3n-1)^2$, т.е

$n^2-14n-51=0$