Сбор от реални числа

[aifC]

Нека [tex]a_{1}, a_{2},...,a_{9}[/tex] са реални числа, такива че: [tex]-1 \le a_{1}, a_{2},...,a_{9} \le 1[/tex] и [tex]a_{1}^{3} + a_{2}^{3} +...a_{9}^{3} = 0[/tex]. Намерете максималната стойност на израза: [tex]a_{1} + a_{2} +...+a_{9}[/tex].

[Kre4etalo]

Нека [tex]f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex], където [tex]f_1(x)=3x-4x^3[/tex] и [tex]f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))[/tex]. Да се реши уравнението [tex]f_n(x)=0[/tex]. (За тези, които са решили горната задача)

[matst]

Добре, че беше втората задача, защото иначе надали щях да се сетя как се решава първата задача.

[aifC]

Хехе и аз не съм решил още първата.

[matst]

Нека [tex]\xi_i\in[0;\pi][/tex] са такива, че [tex]\cos \xi_i=x_i[/tex].
От формулата [tex]\cos 3\xi =4 \cos^3 \xi -3 \cos \xi[/tex] следва, че
[tex]\sum_{i=1}^9 x_i=\sum_{i=1}^9 \cos \xi_i=\frac{1}{3} ( 4 \sum_{i=1}^9 \cos^3 \xi_i - \sum_{i=1}^9 \cos 3\xi_i)[/tex]
Значи,
[tex]\sum_{i=1}^9 x_i=\frac{1}{3} ( 4 \sum_{i=1}^9 x_i^3 - \sum_{i=1}^9 \cos 3\xi_i)=-\frac{1}{3} \sum_{i=1}^9 \cos 3\xi_i \le 3[/tex].
Освен това, при [tex]x_1=-1, x_2=x_3=x_4=x_5=x_6=x_7=x_8=x_9=1/2[/tex], сумата е точно 3.

Отг. максималната стойност на израза е 3.