Граници и функции

[Kolchew]

Много ще съм благодарен ако някой ми ги реши и накратко да ми обясни поне някой от зад как се решават!!!

http://prikachi.com/images.php?images/848/9307848a.jpg

[Петър Евгениев]

Тъй като си го сложил във "Висша математика" раздела то може и с Лопитал, но аз ще ги напиша за ниво 11/12 клас
5.[tex]\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}[/tex], пише пресметнете значи няма нужда да се доказва, което го прави ниво 7, 8 клас когато се учат формулите за съкратено умножение.
Ако заместим директно 3 на мястото на хикс се получава [tex]\frac{0}{0}[/tex], което е недефирано, т.е. точно в такива ситуации от се използва Лопитал до колкото знам.(Както казах, аз няма да използвам правилото на l'Hopital)
За това опростяваме аргумента на границата.
$$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\lim_{x \to 3}\frac{(\cancel{x-3})(x+3)}{\cancel{x-3}}=\lim_{x \to 3}(x+3)=3+3=6$$

6.[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}[/tex], отново би било недефинирано направо заместване, затова преобразуваме...(можеш вместо с формули за съкратено да опростяваш, можеш да извадиш най-високата степен в числителя и в знаменателя и после да съкратиш но в случая най-простия вариант е:
$$\lim_{x \to 1}\frac{\cancel{(x-1)}(x^{2}+x+1)}{\cancel{(x-1)}(x+1)}=\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\frac{1^{2}+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}=1,5$$

[Петър Евгениев]

7.[tex]\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}[/tex](Възможно е задачите, които са ти дадени въпреки леснотата им да са дадени с цел упражнение на точно това правило на Лопитал)
Ако [tex]f(x)=x^{2}+x-2 \rightarrow f'(x)=2x+1[/tex], и ако [tex]g(x)=x^{2}-1\rightarrow g'(x)=2x[/tex]
[tex]\lim_{x \to 1}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x \to 1}\frac{2x+1}{2x}=\frac{2.1+1}{2.1}=\frac{3}{2}=1,5[/tex]
8.[tex]\lim_{x \to 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{3}-2x^{2}-x+2}[/tex]
[tex]f(x)=x^{2}-5x+6 \rightarrow f'(x)=2x-5[/tex]
[tex]g(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2 \rightarrow g'(x)=3x^{2}-4x-1[/tex]
$$\lim_{x \to 2}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 2}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x \to 2}\frac{2x-5}{3x^{2}-4x-1}=\frac{2.2-5}{3.2^{2}-4.2-1}=\frac{-1}{3}$$
Проверяваш дали можеш направо да заместиш в аргумента, ако не Лопитал след него пак проверяваш, ако можеш(т.е ако е дефинирано) заместваш, ако не още един път Лопитал в случая можех да заместа и да се получи нещо нормално)

[Kolchew]

Много ти благодаря колега,сега ще се информирам допълнително тъй като бях пропуснал 2 часа и в Петък господина ги е качил за Понеделник а аз имах проблеми с лаптопа и чак сега седнах да ги решавам!

Задължен съм ти (ако ти трябват разни части за автомобили имаме автосервиз винаги ще помагам)
(Знам че тук не е мястото за реклами)

[Петър Евгениев]

9.[tex]\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}[/tex]
[tex]f(x)=\sqrt{x}-2=x^{\frac{1}{2}}-2 \rightarrow f'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]
[tex]g(x)=x-4 \rightarrow g'(x)=1[/tex]
[tex]\lim_{x \to 4}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 4}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x \to 4}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1}=\lim_{x \to 4}\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}[/tex]
Ето сега виждам ,че ако заместя ще се получи нещо лесно и дефинирано най-важното.

[Петър Евгениев]

Много ти благодаря колега,сега ще се информирам допълнително тъй като бях пропуснал 2 часа и в Петък господина ги е качил за Понеделник а аз имах проблеми с лаптопа и чак сега седнах да ги решавам!

Задължен съм ти (ако ти трябват разни части за автомобили имаме автосервиз винаги ще помагам)
(Знам че тук не е мястото за реклами)

Няма проблем просто се надям да съм полезен.
Писал, но не съм казал нищо за производните считам,че знаеш как се намират.

[Петър Евгениев]

10.[tex]\lim_{x \to 4}\frac{x^{2}-5x+4}{\sqrt{x}-2}[/tex] Ако нямаш проблеми с производните няма да имаш проблеми с задачите и вярвам ,че ще успееш сам, но аз все па Ако имаш вк ще го напиша.
[tex]f(x)=x^{2}-5x+4 \rightarrow f'(x)=2x-5[/tex]
[tex]g(x)=\sqrt{x}-2 \rightarrow g'(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]
$$\lim_{x \to 4}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 4}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x \to 4}\frac{2x-5}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=\lim_{x \to 4}(2x-5)(2\sqrt{x})=(2.4-5)(2\sqrt{4})=3.4=12$$

[Петър Евгениев]

11.[tex]\lim_{x \to \pm\infty}\frac{2x^{3}+3x^{2}-1}{3x^{3}-4x^{2}+1}[/tex], метода на методите, вадиш най-високата степен на хикс пред скоби.
Преди това да се разберем [tex]\lim_{x \to \pm\infty}\frac{const}{\pm\infty}=0[/tex](Отвори си калкулатора раздели 1 на 2, после 1 на 3 .... 1 на 9999 или 1 на -2 1 на -3 , ... 1 на -99999, приближава се до нула и от плюса и от минуса)
$$\lim_{x \to \pm\infty}\frac{\cancel{x^{3}}(2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{3}})}{\cancel{x^{3}}(3-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{3}})}=\lim_{x \to \pm\infty}\frac{2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{3}}}{3-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{3}}}$$
Тъй като [tex]\lim_{x \to \pm\infty}\frac{3}{x},\frac{1}{x^{3}},\frac{4}{x},\frac{1}{x^{3}}=0[/tex], то
$$\lim_{x \to \pm\infty}\frac{2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{3}}}{3-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^{3}}}=\frac{2+0-0}{3-0+0}=\frac{2}{3}$$
(От правилата за границите можеш да ги събираш изваждаш делиш кот' искаш туй )

[Петър Евгениев]

12.[tex]\lim_{x \to \pm\infty}(\frac{x+1}{x+2})^{x}[/tex], това като го видя си представям ,че е състезание до безкрайността на числителя и знаменателя, като знаменателя расте с една идея (+1) по-пързо.
[tex]\lim_{x \to \pm\infty}(\frac{\cancel{x}(1+\frac{1}{x})}{\cancel{x}(1+\frac{2}{x})})^{x}=\lim_{x \to \pm\infty}([/tex]
Тук най-добре прочети това, ако не го знаеш (за Неперовото число бях попитал и дадоха много полезни отговори) то е душата на анализа.
https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=25&t=21090
Изпозлвам основни неща наготово: [tex]\lim_{x \to \pm\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e[/tex], непосредствено от тук [tex]\lim_{x \to \pm\infty}(1+\frac{2}{x})^{x}=e^{2}[/tex]
[tex]\lim_{x \to \pm\infty}(\frac{\cancel{x}(1+\frac{1}{x})}{\cancel{x}(1+\frac{2}{x})})^{x}=\lim_{x \to \pm\infty}=\frac{\cancel{e}}{e^{\cancel{2}}}=\frac{1}{e}[/tex]

[S.B.]

Ако позволите още едно мнение за зад.9 и зад.10:
Зад.9: [tex]\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x} - 2}{х - 4}[/tex] = [tex]\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}[/tex] = [tex]\lim_{x \to 4}\frac{1}{\sqrt{x} + 2}[/tex] = [tex]\frac{1}{4}[/tex]

Зад.10: [tex]\lim_{x \to 4}\frac{x^{2} - 5х +4}{\sqrt{x} - 2} = \lim_{x \to 4}x\frac{(х -1)(х -4)}{\sqrt{x} - 2} = \lim_{x \to 4}\frac{(х - 1)(х -4)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}[/tex] = [tex]\lim_{x \to 4}\frac{(х - 1)(х - 4)(\sqrt{x} + 2)}{х - 4}[/tex] = [tex]\lim_{x \to 4}(х - 1)(\sqrt{x} + 2)[/tex] = 3.4 = 12