Двойни и тройни интеграли

[MuKCePaBG]

Параметри :

a = 3,
b = 0,
k = 4,
p = 4

[matst]

Решение на задача 4.

Подинтегралната функция не е дефинирана в равнината [tex]y=0[/tex]
и "от гледна точка на тройният интеграл" (жаргон) това е пренебрежим проблем.

[tex]\iiint_D arcctg \frac{4x}{y} dxdydz = \iiint_D \frac{\pi}{2}-arctg \frac{4x}{y} dxdydz[/tex]
[tex]=\frac{\pi}{2}\iiint_D dxdydz - \iiint_D arctg \frac{4x}{y} dxdydz[/tex]
[tex]=\frac{\pi}{2} \frac{4}{3}\pi \left. r^3\right|_1^4 - 0=42\pi^2.[/tex]

Вероятно тези 3-4 реда са напълно достатъчни за едно решение.


Заб.
Доказателство, че [tex]\iiint_D dxdydz =\frac{4}{3}\pi \left. r^3\right|_1^4[/tex].
От геометрична гледна точка, това е обемът заключен между концентрични сфери
с радиуси 1 и 4.
Аналитичното пресмятане се прави чрез смяна на променливите
[tex]x=r \cos\varphi \cos\psi, y=r \sin\varphi \cos\psi, z=r \sin\psi[/tex],
с модул на якобиана [tex]= r^2 \cos\psi[/tex],
и областта на интегриране се характеризира с [tex]1\le r\le 4, 0\le\varphi\le 2\pi, (-1)\frac{\pi}{2}\le \psi\le \frac{\pi}{2}[/tex]
(тук, [tex]\psi[/tex] е ориентираният ъгъл между радиус-вектора на точката (x,y,z) и равнината Oxy
--- + е в посока на плюса на Oz)
Така, [tex]\iiint_D dxdydz = \int_1^4 \int_0^{2\pi} \int_{(-1){\pi}/{2}}^{{\pi}/{2}} r^2 \cos\psi d\psi d\varphi dr=[/tex]
[tex]=2\; .\;2\pi \int_1^4 r^2 dr= \frac{4}{3}\pi \left. r^3\right|_1^4[/tex].


Доказателство, че интегралът [tex]\iiint_D arctg \frac{4x}{y} dxdydz = 0[/tex]
Това е така, защото се интегрира нечетна функция в симетрична област.
По-подробно, прави се смяна на променливите [tex]x=X, y=-Y, z=Z[/tex]
и забелязваме следното
1. областта се характеризира с неравенствата [tex]1\le X^2+Y^2+Z^2\le 16[/tex]
--- няма промяна във формулите характеризиращи областта на интегриране
(на жаргон --- областта на интегриране е пак [tex]D[/tex])
2. якобианът на смяната [tex]J=-1[/tex] и модулът му [tex]|J|=1[/tex]
3. интегралът[tex]\iiint_D arctg \frac{4x}{y} dxdydz = \iiint_D arctg (\frac{4X}{-Y}) \;\;|J|dXdYdZ[/tex]
[tex]=-\iiint_D arctg \frac{4X}{Y} dXdYdZ=-\iiint_D arctg \frac{4x}{y} dxdydz[/tex]
Следователно, [tex]2\iiint_D arctg \frac{4x}{y} dxdydz=0[/tex].

[Гост]

Здравейте, може ли да ми помогнете с тази задача ?