Брой на подгрупи

[aifC]

Колекцията [tex]G[/tex] от всички цели числа в интервала [tex][1,4036][/tex], които са взаимно прости на [tex]4036[/tex] формират група под умножение по модул с [tex]4036[/tex]. Например: продукта на [tex]7[/tex] и [tex]1007[/tex] в [tex]G[/tex] е [tex]3013[/tex] докато [tex]7 \times 1007 \equiv 3013 \pmod{4036}[/tex]. Търси се колко подгрупи има [tex]G[/tex] ?

[grav]

36

[aifC]

Не

[kucheto]

Ще използваме, че ако $m$ и $n$ са взаимно прости, то $\mathbb{Z}_{mn}^{*}\cong\mathbb{Z}_{m}^{*}\times\mathbb{Z}_{n}^{*}$ (изоморфизмът е $\varphi(\overline{a})=(a%m,a%n)).$ В случая $\mathbb{Z}_{4036}^{*}=\mathbb{Z}_{4.1009}^{*}\cong\mathbb{Z}_{4}^{*}\times\mathbb{Z}_{1009}^{*}\cong\mathbb{C}_{2}\times\mathbb{C}_{1008}$ (че $\mathbb{Z}_{4}^{*}\cong\mathbb{C}_{2}$ е ясно; $\mathbb{Z}_{1009}^{*}\cong\mathbb{C}_{1008}$ следва от факта, че $1009$ е просто, а мултипликативната група на крайно поле е циклична от ред с 1 по-малко от броя а елементите в полето). Всяка подгрупа на циклична е циклична, като редът на малката дели реда на голямата. Също така, всяка подгрупа на $G\times H$ е от вида $G'\times H',$ където $G'\leq G,\ H'\leq H.$ Нека $\tau(n)$ е броят а делителите на числото $n.$ Ако $n=p_{1}^{\alpha_{1}}...p_{k}^{\alpha_{k}}$ е каноничното разлагане на $n$ на прости множители, то $\tau(n)=(\alpha_{1}+1)...(\alpha_{k}+1).$ Оттук, броят на подгрупите на $\mathbb{Z}_{4036}^{*}$ е $\tau(2)\tau(1008)=2\tau(2^{4}.3^{2}.7^{1})=2.5.3.2=60.$

[grav]

Опс, не съм внимавал. Втори опит 84.

[kucheto]

Също така, всяка подгрупа на $G\times H$ е от вида $G'\times H',$ където $G'\leq G,\ H'\leq H.$

За съжаление това е грешно. Например в $\mathbb{C}_{2}\times\mathbb{C}_{2}$ (група на Клайн) подгрупата $\{(1,1),(-1,-1)\}$ не е от този вид.

В конкретния случай към подгрупите от вида $G'\times H'$ трябва да прибавим и групите от вида $(\{1\}\times H')\cup (\{-1\}\times H''),$ където $H'$ е подгрупа на $\mathbb{C}_{1008}$, а $H''\subseteq\mathbb{C}_{1008}$ изпълнява условията $H''^{-1}=H''$, $H''H''\subseteq H'$, $H'H''=H''.$

[aifC]

Докато: [tex]4036 = 2^{2} \times 1009[/tex], пръстенът [tex]\mathbb{Z}_{4036}[/tex] е изоморфен на директния продукт от пръстените [tex]\mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{1009}[/tex] и следователно групата [tex]G = \mathbb{Z}_{4036}^{\times}[/tex] е изоморфна на директния продукт от циклични групи: [tex]\mathbb{Z}_{4}^{\times} \times \mathbb{Z}_{1009}^{\times} = C_{2} \times C_{1008}[/tex]

Нека определим броя на подгрупите [tex]C_{2} \times C_{N}[/tex] , такъв че предполагаме че [tex]C_{2}[/tex] е генериран от [tex]a[/tex].Нека [tex]f: C_{2} \times C_{N} \to C_{N}[/tex] е хомоморфизъм. Ако [tex]H[/tex] е подгрупа на [tex]C_{2} \times C_{N}[/tex], тогава [tex]f(H)[/tex] е подгрупа на [tex]C_{N}[/tex] и също е циклична , генерирана от някое [tex]c \in C_{N}[/tex]

[tex]S = \{x \in C_{2} | (x,c) \in H \}[/tex] Имаме три случея:
Ако [tex]S = \{e\}[/tex] тогава: [tex]H = \{e\} \times f(H)[/tex];
Ако[tex]S = C_{2}[/tex] тогава: [tex]H = C_{2} \times f(H)[/tex];
Ако[tex]S = \{a\}[/tex] предполагаме че [tex]o(c)[/tex] е било нечетно. Тогава: [tex](a,e) = (a,c)^{o(c)} \in H[/tex], което би имплементирало [tex](e,c) = (a,e)(a,c) \in H \implies e \in S[/tex].По този начин в конкретния случей ни трябва [tex]o(c)[/tex] да е четно [tex]\implies H[/tex] е циклична група генерирана от [tex](a,c)[/tex]

Предполагаме че [tex]C_{2} \times C_{N}[/tex] има две подгрупи за всяка подгрупа от[tex]C_{N}[/tex] от нечетен ред и три подгрупи за всяка подгрупа от [tex]C_{N}[/tex]от четен ред. По този начин [tex]C_{N}[/tex] съдържа една подгрупа за всеки положителен делител на [tex]N[/tex].
Тогава, ако запишем:[tex]N = 2^{u}M[/tex] където [tex]u \ge 0[/tex] е цяло число и [tex]M[/tex] e нечетно цяло число, [tex]C_{2} \times C_{N}[/tex] притежава [tex]3\sigma_{0}(N) - \sigma_{0}(M)[/tex] подгрупи , където [tex]\sigma_{0}(n)[/tex] е число от положителните целочислени делители на [tex]n[/tex].

[tex]1008 = 2^{4} \times 3^{2} \times 7 \implies G = \mathbb{Z}_{4036}^{\times}[/tex] има
[tex]3 \times \sigma_{0}(1008) - \sigma_{0}(63) = 3(5 \times 3 \times 2) - (3 \times 2) = 84[/tex] подгрупи !