Да се пресметне границата

[aifC]

[tex]f(x)[/tex] е дефинирана като брой от положителни цели числа не по-големи от [tex]x[/tex], които НЕ могат да се изразят във вида: [tex]a^{2} + b^{2} + c^{2}[/tex]. Търсим : [tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x}{f(x)} = ?[/tex]

[Добромир Глухаров]

Хипотеза: Всички числа, които НЕ могат да се изразят, са от вида $4^m(8n+7);\ m,n\in\mathbb{N}^0$

[grav]

Това не е хипотеза а теорема на Льожандър.

[Добромир Глухаров]

$\left[\frac{x}{8}\right]<f(x)<\left[\frac{x}{6}\right]$

Може би границата е $7$?

[Добромир Глухаров]

Това не е хипотеза а теорема на Льожандър.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

[grav]

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre% ... re_theorem

[aifC]

От теоремата на Льожандър ни става ясно че трябва да представим числата във вида: [tex]4^{a}(8b+7)[/tex] за [tex]a,b \in \mathbb{N}[/tex]

Да помислим и за изкл. числа за първите няколко стойности на [tex]a[/tex]

[tex]a = 0:[/tex] [tex](\qquad 7, 15, 23, 31,.....) \implies \frac{1}{8}[/tex]
[tex]a = 1:[/tex] [tex](\qquad 28, 60, 92, 124,.....) \implies \frac{1}{32}[/tex]
[tex]a = 2:[/tex] [tex](\qquad 112, 240, 368, 496,.....) \implies \frac{1}{128}[/tex]

Така стигаме до извода че за някое [tex]a[/tex], [tex]\frac{1}{4^{a} \cdot 8}[/tex] от натуралните числа не могат да се изразят като сума от три квадрата.Тогава върху всички стойности на [tex]a[/tex], дробното число което не може да се изрази чрез сумата на квадратите е:

[tex]\frac{1}{4^{0} \cdot 8} + \frac{1}{4^{1} \cdot 8} + \frac{1}{4^{2} \cdot 8} +.... = \sum_{a=0}^{\infty}\frac{1}{4^{a} \cdot 8} = \frac{1}{8}\sum_{a=0}^{\infty }\frac{1}{4^{a}} = \frac{1}{8} \left(\frac{1}{1-\frac{1}{4}}\right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{6}[/tex]
[tex]\implies \lim_{x \to \infty}\frac{x}{f(x)} = \boxed{6}[/tex]