Да се намери периметъра

[aifC]

[tex]\triangle ABC[/tex] има връх А с координати [tex](2, 6)[/tex], ортоцентър [tex]O - (3, 3)[/tex] и център на описана окръжност [tex]\Gamma - (-3, -6)[/tex]. Ако периметърът на триъгълника е [tex]P[/tex], намерете: [tex]\left \lfloor P \right \rfloor.[/tex]

[Knowledge Greedy]

План за решение.
1. Координатите на медицентъра [tex]G[/tex] на триъгълника ( - използвайки [tex]\Gamma G:GO=1:2[/tex]).
2. Координатите на средата на страната [tex]BC[/tex] ( - от отношението [tex]AG:GM=2:1[/tex]).
3. Уравнение на правата която съдържа височината през дадения връх [tex]A(2; 6)[/tex] (права през две дадени точки).
4. Уравнение на правата, която съдържа страната [tex]BC[/tex] (права през дадена точка и перпендикулярна на дадена права - токущо намерената височина).
5. Симетричната точка [tex]O'[/tex] на ортоцентъра [tex]O[/tex] относно правата, която съдържа страната [tex]BC[/tex]. Да отбележим, че въпросната точка [tex]O'[/tex] е от описаната окръжност.
6. Определяме радиуса на описаната окръжност около дадения триъгълник. Един радиус представлява отсечката [tex]\Gamma O'[/tex].
7. Уравнение на описаната окръжност около дадения [tex]\triangle ABC[/tex] - налични са координатите на центъра ѝ [tex]\Gamma (-3; -6)[/tex] и намерения по-горе радиус.
8. Пресечните точки на построената окръжност с правата, съдържаща страната [tex]BC[/tex] (Решаваме система.Уравненията са конструирани по-горе.).
9. Периметъра на дадения триъгълник (дължина на отсечка чрез координатите на краищата ѝ - три пъти ).

[aifC]

Примерно решение:

Ако преместим координатната с-ма така че центърът на описана окръжност [tex]\Gamma[/tex] да е в началото, върхът [tex]A[/tex] ще има координати [tex](5,12)[/tex], а ортоцентъра [tex]O - (6,9)[/tex].Ако векторите на позиция на [tex]A, B, C[/tex] по отношение на началото на [tex]\Gamma[/tex] са [tex]\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}[/tex] то за тях ще имаме:

[tex]\mathbf{a} = {5 \choose 12}[/tex] [tex]\hspace{2cm} \mathbf{a+b+c} = {6 \choose 9}[/tex]

Отбелязваме и факта че радиуса на описаната окръжност [tex]R=13 \implies[/tex] [tex]\hspace{1cm} \mathbf{b+c} = {1 \choose -3}[/tex]
Oсвен това [tex]\mathbf{c-b} \hspace{0.5cm} \bot \hspace{0.5cm} \mathbf{c+b} \hspace{0.5cm}[/tex](докато и двете имат дължина [tex]13[/tex]), така че трябва да е успоредно на [tex]{3 \choose 1}[/tex]

[tex]\implies \mathbf{b} = {\frac{1}{2}(1-3u) \choose -\frac{1}{2}(3+u)} \hspace{1cm} \mathbf{c} = {\frac{1}{2}(1+3u) \choose \frac{1}{2}(u-3)}[/tex]

За някое [tex]u[/tex], докато [tex]\mathbf{b}[/tex] има дължина [tex]13[/tex]

[tex]\implies 169 = \frac{1}{4}(1-3u)^{2} + \frac{1}{4}(3+u)^{2} = \frac{5}{2}(u^{2}+1) \Rightarrow u = 3\sqrt{\frac{37}{5}}[/tex].Тогава:

[tex]\mathbf{a-b} = {\frac{1}{2}(9+3u) \choose \frac{1}{2}(27+u)}[/tex] Извеждаме че:

[tex]AB^{2} = \frac{1}{4}(9+3u)^{2} + \frac{1}{4}(27+u)^{2} = \frac{5}{2}(u^{2}+81)+27u = 369+27u[/tex] По същия начин:

[tex]AC^{2} = 369-27u[/tex]

[tex]\mathbf{c-b} = {3u \choose u} \Rightarrow BC^{2} = 10u^{2}[/tex]

[tex]\implies P = \sqrt{369+27u}+\sqrt{369-27u}+u\sqrt{10} = 62,27584442[/tex]

[tex]\lfloor P \rfloor = 62[/tex]