Две функции

[aifC]

Две реални и диференцируеми функции [tex]f[/tex] и [tex]g[/tex] удоволетворяват [tex]\frac{f'(x)}{g'(x)} = e^{f(x)-g(x)} ,\forall x[/tex] и [tex]f(0)=g(2018)=1[/tex]. Да се намери най-голямата константа [tex]c[/tex], такава че [tex]f(2018) > c[/tex], за всички такива функции [tex]f,g[/tex].

[grav]

[tex]\frac1{1+\ln2}[/tex]

[aifC]

Нямам отговор все още за сверка

[aifC]

Използваме следното диференциално уравнение: [tex]e^{-f(x)}f'(x) = e^{-g(x)}g'(x) \rightarrow e^{-f(x)} - e^{-g(x)} = c[/tex]
Тогава:

[tex]e^{-f(2018)} - e^{-1} = e^{-1} - e^{-g(0)}[/tex]
[tex]e^{-f(2018)} = 2e^{-1} - e^{-g(0)}[/tex]
[tex]e^{f(2018)} = \frac{e}{2-e^{1-g(0)}}[/tex]

По този начин функциите от този тип са възможни само за:[tex]0 < e^{1-g(0)} < 2[/tex], следователно [tex]e^{f(2018)} > \frac{1}{2}e[/tex], така че [tex]f(2018) > \boxed{1 - ln2}[/tex].