Ромб в комплексната равнина

[aifC]

Уравнението : [tex]2z^{4} + 8iz^{3} + (-11+7i)z^{2}+(-14-6i)z + 25 - 14i = 0[/tex] има 4 комплексни корена, които формират Ромб в комплексната равнина. Лицето на Ромба можем да изразим като [tex]\sqrt{A}[/tex], каква е стойността на [tex]A[/tex]?

[aifC]

65.png (4 KiB) Прегледано 423 пъти

1)Нека [tex]f(z) = 2z^{4} + 8iz^{3} + (-11 + 7i)z^{2} + (-14 -6i)z +25 -14i = 2(z - z_{1})(z - z_{2})(z - z_{3})(z - z_{4})[/tex], където [tex]z_{k}[/tex] са корените.
2)Сумата на корените е: [tex]\frac{-8i}{4} = -4i[/tex], ср. аритметично [tex]\frac{-4i}{4} = -i[/tex], което ни дава центъра на Ромба.

3)[tex]a^{2}b^{2} = |(-i -z_{1})(-i -z_{2})(-i -z_{3})(-i -z_{4})| = \left|\frac{1}{2} f(-i)\right| = \left|12 - \frac{7}{2}i\right|= \frac{25}{2} \implies ab = \sqrt{\frac{25}{2}}[/tex]

Относно лицето на Ромба: [tex]2ab = \sqrt{50} \implies \therefore A = 50[/tex];