Алгебричен вид

[gabrinka]

Здравейте, можете ли да ми обясните как се представя в алгебричен вид следното комплексно число и защо: (1+i)^{n}. Благодаря предварително. Не търся решение, а просто да го разбера.

[Knowledge Greedy]

Трябва да сте наясно с определението за алгебричен вид на комплексното число [tex]z[/tex].
Той е [tex]z=x+yi[/tex], където [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са реални числа.
[tex]x[/tex] се нарича реална част на [tex]z[/tex], а [tex]y[/tex] се нарича имагинерна част на [tex]z[/tex].
Означават се [tex]Rez=x[/tex] и [tex]Imz=y[/tex]

Ако [tex]n[/tex] е малко число, просто разкриваме скобите, извършваме опростяване и пряко получаваме резултата.
[tex](1+i)^{2}=1+2i+i^2=1+2i-1=2i[/tex]
[tex](1+i)^{3}=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=-2+2i[/tex]
______________

Ако [tex]n[/tex] е голямо число, превръщате [tex]1+i[/tex] в тригонометричен вид, като намирате:
- модула [tex]\left |1+i \right |=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}[/tex]
- аргумента [tex]arg(1+i)=\varphi[/tex], пряко - аналитично или геометрично, или чрез негова тригонометрична функция, в случая [tex]\varphi=\frac{\pi}{4}[/tex]
Тригонометричният вид е [tex]1+i=\sqrt{2}\left (cos \frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4} \right )[/tex]
Следващата стъпка е повдигането на степен [tex]n[/tex], като за целта се ползва формулата на Абрахам де Моавър.
[tex](1+i)^{n}=\left ( \sqrt{2} \right )^n\left (cos \frac{n\pi}{4}+isin\frac{n\pi}{4} \right )[/tex]
И последната стъпка е превръщането на получения отговор от тригонометричен в алгебричен вид.

_____________
Нашето число [tex]1+i[/tex], обаче е толкова удобно, че ще се справим и с "детски метод" - индукция.
Продължаваме с четвъртата степен
[tex](1+i)^{4}=(1+i)^{3} . (1+i)=(-2+2i)(1+i)=-2(1+i)(1+i)=-1(1+1)=-4[/tex]
Петата степен:
[tex](1+i)^{5}=(1+i)^{4} . (1+i)=-4i(1+i)=4-4i[/tex]
Шестата степен вече трябва да ни накара, да си направим по-общ извод. За целта ще изнесем общ множител от реалната и от имагинерната части.
[tex]\left \{\ \begin{matrix}
(1+i)^{1} &=& 1+i & \\
(1+i)^{2} & =& 2i \\
(1+i)^{3} & =& 2(-1+i) \\
(1+i)^{4} & =&4(-1) \\
(1+i)^{5} & =& 4(-1-i) \\
(1+i)^{6} & =& 8(-i) \\
(1+i)^{7} & =& 8(-1+i) \\
(1+i)^{8} & =&16.1 \\
(1+i)^{9} & =&16(1+i) \\
& &
\end{matrix}\right.[/tex]
Оттук - нататък е ясно че има периодичност - в отговорите се срещат числата [tex]1+i, i, -1+i, -1,-1-i, -i, 1-i, 1[/tex] - в първите осем реда и то в тази последователност.
Другото общо е, че всички множители пред тези числа са цели степени на двойката, които се повтарят по два пъти.
_____________
Убедихме се, че Моавър е имал право да се занимава с неговата формула.
Отчитайки, че
[tex]\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2}cos \frac{\pi}{4} & = &1 \\
\sqrt{2}cos \frac{2\pi}{4} & = & 0 \\
\sqrt{2}cos \frac{3\pi}{4} & = &-1 \\
\sqrt{2}cos \frac{4\pi}{4} & = & -\sqrt{2} \\
\sqrt{2}cos \frac{5\pi}{4} & = &-1 \\
\sqrt{2}cos \frac{6\pi}{4} & = & 0 \\
\sqrt{2}cos \frac{7\pi}{4} & = &1 \\
\sqrt{2}cos \frac{8\pi}{4} & = & \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.[/tex]
и същото за синуса
[tex]\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2}sin \frac{\pi}{4} & = &1 \\
\sqrt{2}sin \frac{2\pi}{4} & = & \sqrt{2} \\
\sqrt{2}sin \frac{3\pi}{4} & = &1 \\
\sqrt{2}sin \frac{4\pi}{4} & = & 0 \\
\sqrt{2}sin \frac{5\pi}{4} & = &-1 \\
\sqrt{2}sin \frac{6\pi}{4} & = & -\sqrt{2} \\
\sqrt{2}sin \frac{7\pi}{4} & = & -1 \\
\sqrt{2}sin \frac{8\pi}{4} & = & 0 \\
\end{matrix}\right.[/tex]
(в съчетание разбира се),
ще приемем все пак неговия подход за доста по-добър от изморителното разглеждане на множество частни случаи.
_______________
Отговор:
[tex](1+i)^{n}=\sqrt{2^n}cos \frac{n\pi}{4}+i.\sqrt{2^n}sin\frac{n\pi}{4}[/tex]
Тук
[tex]Re((1+i)^{n})=\sqrt{2^n}cos \frac{n\pi}{4}[/tex]
[tex]Im((1+i)^{n})=\sqrt{2^n}sin\frac{n\pi}{4}[/tex]

Забележка.
[tex](1+i)^{n}= \sqrt{2^n} \left (cos \frac{n\pi}{4}+isin\frac{n\pi}{4} \right )[/tex] е тригонометричният вид.
Модулът [tex]\left |(1+i)^{n} \right |= \sqrt{2^n}[/tex]
Аргументът [tex]Arg((1+i)^{n})=\frac{\pi}{4}[/tex]

[gabrinka]

Трябва да сте наясно с определението за алгебричен вид на комплексното число [tex]z[/tex].
Той е [tex]z=x+yi[/tex], където [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са реални числа.
[tex]x[/tex] се нарича реална част на [tex]z[/tex], а [tex]y[/tex] се нарича имагинерна част на [tex]z[/tex].
Означават се [tex]Rez=x[/tex] и [tex]Imz=y[/tex]

Ако [tex]n[/tex] е малко число, просто разкриваме скобите, извършваме опростяване и пряко получаваме резултата.
[tex](1+i)^{2}=1+2i+i^2=1+2i-1=2i[/tex]
[tex](1+i)^{3}=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=-2+2i[/tex]
______________

Ако [tex]n[/tex] е голямо число, превръщате [tex]1+i[/tex] в тригонометричен вид, като намирате:
- модула [tex]\left |1+i \right |=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}[/tex]
- аргумента [tex]arg(1+i)=\varphi[/tex], пряко - аналитично или геометрично, или чрез негова тригонометрична функция, в случая [tex]\varphi=\frac{\pi}{4}[/tex]
Тригонометричният вид е [tex]1+i=\sqrt{2}\left (cos \frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4} \right )[/tex]
Следващата стъпка е повдигането на степен [tex]n[/tex], като за целта се ползва формулата на Абрахам де Моавър.
[tex](1+i)^{n}=\left ( \sqrt{2} \right )^n\left (cos \frac{n\pi}{4}+isin\frac{n\pi}{4} \right )[/tex]
И последната стъпка е превръщането на получения отговор от тригонометричен в алгебричен вид.

_____________
Нашето число [tex]1+i[/tex], обаче е толкова удобно, че ще се справим и с "детски метод" - индукция.
Продължаваме с четвъртата степен
[tex](1+i)^{4}=(1+i)^{3} . (1+i)=(-2+2i)(1+i)=-2(1+i)(1+i)=-1(1+1)=-4[/tex]
Петата степен:
[tex](1+i)^{5}=(1+i)^{4} . (1+i)=-4i(1+i)=4-4i[/tex]
Шестата степен вече трябва да ни накара, да си направим по-общ извод. За целта ще изнесем общ множител от реалната и от имагинерната части.
[tex]\left \{\ \begin{matrix}
(1+i)^{1} &=& 1+i & \\
(1+i)^{2} & =& 2i \\
(1+i)^{3} & =& 2(-1+i) \\
(1+i)^{4} & =&4(-1) \\
(1+i)^{5} & =& 4(-1-i) \\
(1+i)^{6} & =& 8(-i) \\
(1+i)^{7} & =& 8(-1+i) \\
(1+i)^{8} & =&16.1 \\
(1+i)^{9} & =&16(1+i) \\
& &
\end{matrix}\right.[/tex]
Оттук - нататък е ясно че има периодичност - в отговорите се срещат числата [tex]1+i, i, -1+i, -1,-1-i, -i, 1-i, 1[/tex] - в първите осем реда и то в тази последователност.
Другото общо е, че всички множители пред тези числа са цели степени на двойката, които се повтарят по два пъти.
_____________
Убедихме се, че Моавър е имал право да се занимава с неговата формула.
Отчитайки, че
[tex]\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2}cos \frac{\pi}{4} & = &1 \\
\sqrt{2}cos \frac{2\pi}{4} & = & 0 \\
\sqrt{2}cos \frac{3\pi}{4} & = &-1 \\
\sqrt{2}cos \frac{4\pi}{4} & = & -\sqrt{2} \\
\sqrt{2}cos \frac{5\pi}{4} & = &-1 \\
\sqrt{2}cos \frac{6\pi}{4} & = & 0 \\
\sqrt{2}cos \frac{7\pi}{4} & = &1 \\
\sqrt{2}cos \frac{8\pi}{4} & = & \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.[/tex]
и същото за синуса
[tex]\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2}sin \frac{\pi}{4} & = &1 \\
\sqrt{2}sin \frac{2\pi}{4} & = & \sqrt{2} \\
\sqrt{2}sin \frac{3\pi}{4} & = &1 \\
\sqrt{2}sin \frac{4\pi}{4} & = & 0 \\
\sqrt{2}sin \frac{5\pi}{4} & = &-1 \\
\sqrt{2}sin \frac{6\pi}{4} & = & -\sqrt{2} \\
\sqrt{2}sin \frac{7\pi}{4} & = & -1 \\
\sqrt{2}sin \frac{8\pi}{4} & = & 0 \\
\end{matrix}\right.[/tex]
(в съчетание разбира се),
ще приемем все пак неговия подход за доста по-добър от изморителното разглеждане на множество частни случаи.
_______________
Отговор:
[tex](1+i)^{n}=\sqrt{2^n}cos \frac{n\pi}{4}+i.\sqrt{2^n}sin\frac{n\pi}{4}[/tex]
Тук
[tex]Re((1+i)^{n})=\sqrt{2^n}cos \frac{n\pi}{4}[/tex]
[tex]Im((1+i)^{n})=\sqrt{2^n}sin\frac{n\pi}{4}[/tex]

Забележка.
[tex](1+i)^{n}= \sqrt{2^n} \left (cos \frac{n\pi}{4}+isin\frac{n\pi}{4} \right )[/tex] е тригонометричният вид.
Модулът [tex]\left |(1+i)^{n} \right |= \sqrt{2^n}[/tex]
Аргументът [tex]Arg((1+i)^{n})=\frac{\pi}{4}[/tex]

Благодаря много, аз съм наясно със значението на комплексните числа. Още не е учен този материал в дълбочина, зада прилагам знанията така добре, но просто много ме заинтригува задачката и реших да споделя тук.