Матрици и Гаусови цели числа

[aifC]

Колко матрици [tex]A[/tex] от втори ред в-ху мноожеството Гаусови цели числа [tex](\mathbb{Z}[i])[/tex] удоволетворява:

[tex]А = \begin{pmatrix}5 & a\\b & c\end{pmatrix} \space (a,b,c \in \mathbb{Z}[i]) \space \text{и} \space A^{2} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\0 &-1\end{pmatrix}[/tex]

[grav]

Тук няма нищо за съобразяване, само трябва да се знае малко за тези числа. Единиците са [tex]\pm1, \pm i[/tex]. И кой са простите, [tex]2[/tex] не е просто, [tex]13[/tex] е просто. Остава да се брои.

[grav]

Kre4etalato zabeliaza, che 13 ne e prosto.

[aifC]

Малко сметки, искаме:

[tex]\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix} = A^{2} = \begin{pmatrix}5 & a\\b & c\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix}25+ab & a(5+c)\\b(5+c) & c^{2}+ab\end{pmatrix}[/tex]

Тогава: [tex]c^{2} = 25, ab = -26, a(5+c)=b(5+c) = 0[/tex]
Ако: [tex]c = 5 \implies a=b=0[/tex], но ако [tex]c = -5[/tex] и [tex]ab = -26[/tex] броя на матриците от желаната форма е равен на броя на делителите на [tex]-26[/tex] в [tex]\mathbb{Z}[i][/tex]

[tex]26 = (1+i)(1-i)(2+3i)(2-3i) = (1-i)^{2}(2+3i)(2-3i)[/tex]

В осн. форма [tex]a = (u-i)^{p}(2+3i)^{q}(2-3i)^{r}[/tex], където [tex]u \in \mathbb{Z}[/tex] и [tex]p,q,r[/tex] са цели числа:[tex]0 \le p \le 2; 0 \le q,r \le 1[/tex]
Докато имаме [tex](1, -1, i, -i) \in \mathbb{Z}[i] \implies 4 \times 3 \times \times 2 \times 2 = 48[/tex] делителя на [tex]-26[/tex] и тъй като броят им е равен следователно имаме и [tex]48[/tex] матрици

[grav]

[tex]26 = (1+i)(1-i)(2+3i)(2-3i) = (1-i)^{2}(2+3i)(2-3i)[/tex]

Липсва ти [tex]i[/tex], трябва да е
[tex]26 = (1+i)(1-i)(2+3i)(2-3i) = i(1-i)^{2}(2+3i)(2-3i)[/tex]

Докато имаме [tex](1, -1, i, -i) \in \mathbb{Z}[i][/tex]

Важното тук е, че са обратими.

п.п. Това твое решение ли е?

[aifC]

Дам по твоите насоки, благодаря за корекцията.

[bilyana_99]

Намерете всички диагонални матрици А от трети ред, за които е изпълнено равенството: А^3+A=0

[Добромир Глухаров]

@bilyana_99: Това не е задача за олимпиада. Потърсете подходящ раздел, например Висша математика - Матрици, Алгебра.