Определете за кои стойности на λ системата има решение

[didis82]

Определете за кои стойности на параметъра λ системата
(λ + 3)x1 + x2 + 2x3 = λ
λx1 + (λ – 1)х2 + x3 = 2λ
3(λ + 1)x1 + λx2 + (λ + 3)x3 = 3
има решение.
а) λ ≠ 0 и λ ≠ 1;
б) λ = 0 или λ = 1;
в) λ ≠ 5;
г) λ = 8.

[Gruicho]

За някои

[KOPMOPAH]

Системата $$\begin{array}{|l} (λ + 3)x_1 + x_2 + 2x_3 = λ\\
λx_1 + (λ – 1)x_2 + x_3 = 2λ\\
3(λ + 1)x_1 + λx_2 + (λ + 3)x_3 = 3
\end{array}$$
има решения $$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\,x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\,x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}$$
където детерминантата $\Delta$ е
$$\Delta=
\begin{vmatrix}
(λ + 3)&1&2\\
λ& (λ – 1)&1\\
3(λ + 1)&λ&(λ + 3)
\end{vmatrix}=\\\,\\=(λ + 3)(λ -1)(λ + 3)+1.1.3(λ + 1)+2.λ.λ-2.(λ -1).3(λ + 1)-(λ + 3).1.λ-1.λ.(λ + 3)=λ^3-λ^2$$

Вижда се, че тя се нулира при $λ=0$ и $λ=1$, т.е. правилният отговор е а)

Скрит текст: покажи

За да е съвсем коректно решена задачата, трябва да се провери дали някоя от детерминантите $\Delta_1$, $\Delta_2$ и $\Delta_3$ не се нулира също за тези стойности, защото тогава системата би имала безкрайно много решения.

[didis82]

Скрит текст: покажи

Системата $$\begin{array}{|l} (λ + 3)x_1 + x_2 + 2x_3 = λ\\
λx_1 + (λ – 1)x_2 + x_3 = 2λ\\
3(λ + 1)x_1 + λx_2 + (λ + 3)x_3 = 3
\end{array}$$
има решения $$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\,x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\,x_1=\frac{\Delta_2}{\Delta}$$
където детерминантата $\Delta$ е
$$\Delta=
\begin{vmatrix}
(λ + 3)&1&2\\
λ& (λ – 1)&1\\
3(λ + 1)&λ&(λ + 3)
\end{vmatrix}=\\\,\\=(λ + 3)(λ -1)(λ + 3)+1.1.3(λ + 1)+2.λ.λ-2.(λ -1).3(λ + 1)-(λ + 3).1.λ-1.λ.(λ + 3)=λ^3-λ^2$$

Вижда се, че тя се нулира при $λ=0$ и $λ=1$, т.е. правилният отговор е а)

[hide]За да е съвсем коректно решена задачата, трябва да се провери дали някоя от детерминантите $\Delta_1$, $\Delta_2$ и $\Delta_3$ не се нулира също за тези стойности, защото тогава системата би имала безкрайно много решения.

[/hide]

Много благодаря!