Ортоцентър

[Ana2612]

Странитенатриъгълник АВС имат уравнения 2х–у–7=0, х+3у=0 и х + 5у – 42 = 0. Да се намерят координатите на ортоцентъра на триъгълника.
а) (4, – 12);
б) (8, – 29);
в) (5, 29);
г) (1, – 11).

[KOPMOPAH]

От уравненията за страните съставяш три системи:$$\begin{array}{|l} 2x - y - 7 = 0 \\ x + 3y = 0 \end{array} \Rightarrow x=3,~y=-1$$ $$ \begin{array}{|l} 2x - y - 7 = 0 \\x + 5y - 42 = 0\end{array} \Rightarrow x=7,~y=7$$ $$\begin{array}{|l}x + 5y - 42 = 0 \\ x + 3y = 0 \end{array} \Rightarrow x=-63,~y=21$$Техните решения са пресечените точки на всяка двойка прави, т,е. върховете на триъгълника $A(3,-1)$, $B(7,7)$ и $C(-63, 21)$

За да получиш ортоцентъра трябва да построиш две височини и да намериш пресечената им точка. Това свежда задачата до построяването на две прави, перпендикулярни съответно към две страни и минаващи през два върха. Задачата стана като тази.
Уравнението на правата през върха $A$ е $h_a:-5x+y+16=0$, а през върха $B$ $h_b: -3x+y+14=0$. Съставяме система от тях $$\begin{array}{|l} -5x+y+16=0 \\ -3x+y+14=0 \end{array} \Rightarrow x=1,~y=-11 \Rightarrow H(1,-11)$$
Ортоцентърът $H$ е с координати $(1,-11)$, следователно правилният отговор е г).

[Ana2612]

Много благодаря !!!