Трета страна на триъгълник

[Ana2612]

Двеотстранитенатриъгълника АВСиматуравнения 2х+у–7=0 и 3х−2у=0, а уравнението на една от медианите му е х + 2у – 2 = 0. Намерете третата страна на триъгълника.
а) 14х – 3у + 27 = 0;
б)23х+у+248=0 или х–5у–7=0;
в) 18х + 7у – 248 = 0;
г)23х+22у–28=0 или х–10у–14=0.

[KOPMOPAH]

Не ти работи клавишът Space ли?

Общи съображения към задачата: от пресичането на двете прави $a:2x+y–7=0$ и $b:3x−2y=0$ ще получим върха $C$, значи съставяме и решаваме системата $$\begin{array}{|l} 2x+y–7=0 \\ 3x−2y=0\end{array} \Rightarrow x=2, ~y=3 \Rightarrow C(2,3)$$
Намираме и двете пресечени точки на медианата с правите $a$ и $b$ от системите: $$\begin{array}{|l} 2x+y–7=0 \\ x+2y-2=0\end{array} \Rightarrow x=0,5, ~y=0,75 \Rightarrow A (0,5;0,75)\equiv B_1$$ $$\begin{array}{|l}3x−2y=0\\ x+2y-2=0\end{array} \Rightarrow x=4, ~y=-1 \Rightarrow B(4;-1)\equiv A_1$$

Дотук добре. От този момент задачата се раздвоява:

$1$. Правата, съдържаща медианата, може да минава през върха $A$ и т.$A_1$, среда на $BC$. Известни са ни координатите на единия край на $BC$ и на средата $A_1$, по формулата за среда на отсечка $$x=\frac{x_1+x_2}2;~y=\frac{y_1+y_2}2$$ можем да намерим неизвестните координати на върха $B$;

$2$. Правата, съдържаща медианата, може да минава през върха $B$ и т.$B_1$, среда на $AC$. Известни са ни координатите на единия край на $AC$ и на средата $B_1$ и отново по гореспоменатата формула $$x=\frac{x_1+x_2}2;~y=\frac{y_1+y_2}2$$ можем да намерим неизвестните координати на върха $A$.

От казаното дотук можем веднага да отхвърлим отговори а) и в). Нещо като $50/50$ в "Стани богат!"

За да намерим правилния отговор, трябва от получените координати на т.$B$ от случай $1$ и т.$A$ от случай $2$ да съставим уравнение на права, минаваща през две точки, а то е $$\frac {y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} $$

Може и другояче - получените координати на върховете $A$ и $B$ да се поставят в уравненията на отговорите и да се види кога се изпълняват.

[Ana2612]

Много ти благодаря!