ДУ

[Сибел15]

received_611536409275320.jpeg (384.14 KiB) Прегледано 375 пъти

Може ли някой да ми помогне да реша задачата?

[aifC]

И ?

[KOPMOPAH]

Не.gif (12.08 KiB) Прегледано 364 пъти

Решете ДУ, след като откриете десетте разлики

[Sup3rlum]

Добре реших ти задачата, сигурно е твърде късно ама поне и за мен беше добро упражнание
Извинявай за изкривените термини, не уча в България така че РИП.

Първо предположих че хомогенната част на уравенението завършва на [tex]+9y[/tex] а не на [tex]+9[/tex]

Ако го решаваме така (по този начин изглежда целенасочено избрана нехомогенната част):

1. Решаваме хомогенната част (от ляво) като изкараме характеристичното квадратно уравнение:
[tex]r^2+6r+9=0[/tex]
[tex](r+3)^2=0[/tex]
[tex]r_{1,2}=-3[/tex]

Тук имаме двоен корен, и по едно от правилата, крайният интеграл трябва да има и двете решения, но да са линейно независими. Това се решава лесно - първият ни корен е: [tex]e^{-3x}[/tex] а вторият [tex]xe^{-3x}[/tex]

И като добавим константите:
[tex]y_{h}=C_{1}e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x}[/tex]

2.За да решим нехомогенната част, трябва да изберем подходящ интеграл:

[tex]y_{p}=Ax^3e^{-3x}+Bsinx+Dcosx[/tex]

Защо точно този?
Първо, когато имам синус или косинус трябва да добавим и комплементиращата функция (производната на синус е косинус).
Второ, за да репрезентираме [tex]xe^{-3x}[/tex] трябва да изберем подходяща фунцкия с неизвестен коефицент. В хомогенното решение обаче имаме такъв член и нелинейния му другар. Интуитивно, трябва да изберем член който е нелинеен спрямо двата члена, тоест [tex]x^2e^-3x[/tex], но ако се пробваме да го решим, не става. Това е така защото втората му производна съдържа членове [tex]e^{-3x}[/tex], които вече ги имаме в дясната част на решението, и нямаме в лявата (и коефицентите се разместват). За да поправим това избираме друг израз който също е нелинеен: [tex]Ax^3e^{-3x}[/tex]

Имаме всичко нужно за да намерим производните:

[tex]y_{p}''=9Ax^3e^{-3x}-18Ax^2e^{-3x}+6Axe^{-3x}-Bsinx-Dcosx[/tex]
[tex]6y_{p}'=-18Ax^3e^{-3x}+18Ax^2e^{-3x}+6Bcosx-6Dsinx[/tex]
[tex]9y_{p}=9Ax^3e^{-3x}+9Bsinx+9Dcosx[/tex]

Събираме ги и приравняваме коефицентите с дясната част. От това получаваме следната система:

[tex]\begin{array}{|l} 6A = 1 \\ 8B-6D=2 \\ 6B+8D = 0 \end{array}[/tex]

Следователно:
[tex]A=1/6[/tex]
[tex]B=4/25[/tex]
[tex]D=-3/25[/tex]

И крайният ни резултат [tex]y=y_{p}+y_{h}[/tex]:

[tex]y=C_{1}e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x}+\frac{x^3e^{-3x}}{6}+\frac{4sinx}{25}-\frac{3cosx}{25}[/tex]