Растяща функция

[Nnikolaeva]

Здравейте,
Може ли да ми помогнете с дадена задача:
Представете функцията cos9x като разлика на две растящи функции.

[Davids]

Може. Всяка една безкрайна функция с ограничен интервал на изменение може да бъде представена като разлика от две монотонно растящи функции. Алгоритъмът за целта, сигурен съм, се поместонахождава прилежно описан из някоя твоя лекция, но да оставим това на страна сега... Има литература в интернет много (откъдето хванах и попрочетох и аз ).
В общи линии трябва да намериш съответните функции на ограничена вариация (преводът ми вероятно не съвпада с българската терминология...) за $x$ спрямо интервала на промяна (нарастване/намаляване), в който се намира. За първия интервал на монотонност (да кажем намаляне) $x \in [a; b]$ я бележим с $v(x) = V_a^x = |f(x) - f(a)|$, съответно за втори интервал на противоположна монотонност (в случая - нарастване) $x \in [b; c]$ тя ще стане равна на $v(x) = V_a^b + V_b^x = V_a^b + |f(x) - f(b)|$, където $V_a^b$ ще е равно на целия ти мащаб на вариация, т.е. $|f_{max} - f_{min}|$ за съответния интервал (в слуая с косинуса това е 2) и т.н. Идеята е в крайна сметка да представим $f(x) = v(x) - (v(x) - f(x))$, като така и двете функции $g(x) = v(x)$ и $h(x) = v(x) - f(x)$ винаги ще са нарастващи.

Академичния и пълноценен вид на обяснението си можеш да намериш например тук.

Така си хващаме нашата функция $f(x) = cos9x$ и определяме нейните интервали на монотонност:
За $x \in [0; \frac{\pi}{9}]$ функцията намалява, а за $x \in [\frac{\pi}{9}; \frac{2\pi}{9}]$ тя расте.
С което и задачата е решена. Ако има нещо неясно, питай. Иначе идеята теорията не е толкова недостъпна
Следователно:
[tex]v(x) = \begin{cases} |f(x) - f(0)| = 1 - cos9x;~ 0 \le x \le \frac{\pi}{9} \\ V_0^{\frac{\pi}{9}} + |f(x) - f(\frac{\pi}{9})| = 2 + cos9x;~\frac{\pi}{9} \le x \le \frac{2\pi}{9} \end{cases}[/tex]

И така окончателно функцията ти добива вида:
$f(x) = cos9x = \begin{cases} (1 - cos9x) - (1 - 2cos9x);~\frac{2k\pi}{9} \le x \le \frac{\pi + 2k\pi}{9} \\ (2 + cos9x) - 2;~\frac{\pi + 2k\pi}{9} \le x \le \frac{2\pi + 2k\pi}{9} \end{cases}$

[drago]

Да, и на български терминът е "ограничена вариация", но чак тoлкова не е необходимо да знаем. Да направим анализ. Търсим една хубава функция (да има производна) $f(x)$, така че $f(x)$ и $f(x)-\cos 9x$ да са разстящи. За това е достатъчно техните производни да са положителни. Тъй като $|(\cos 9x)'|=9|\sin 9x|\leq 9$, то ни стига да вземем $f(x)$, такава че нейната производна навсякъде да е поне $9$. Например $f(x)=9x$ или $f(x)=ax, a\geq 9$.