Floor sum

[man111]

[tex]\displaystyle \bigg\lfloor \frac{2010!}{1!+2!+3!+\cdots +2009!}\bigg\rfloor[/tex]

[Sup3rlum]

Доказателството ми е малко чалнато, даже на места съм пропуснал някои неща, но уви..

Взимаме функцията $\Gamma(x)=(x-1)!=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt$

$\Rightarrow 1! + 2!+ \cdot\cdot\cdot + k! = \sum_{n=1}^{k} \Gamma(n+1) = \sum_{n=2}^{k+1} \Gamma(n)$
$=\sum_{n=2}^{k+1} \int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt$. Използваме Фубини:
$= \int_{0}^{\infty}e^{-t}\sum_{1}^{k}t^ndt$ . Имаме гоеметрична прогресия, затова заместваме с затворената форма:

Получаваме:

$\Lambda(k)=\Bigg\lfloor \frac{(k+1)!}{\int_{0}^{\infty}e^{-t}\frac{t^k-1}{t-k}dt} \Bigg \rfloor = \Bigg\lfloor \frac{(k+1)!}{(-1)^{k+1}(k+1)! !(-k-2)-!(-1)} \Bigg \rfloor = \Bigg\lfloor \frac{1}{!(-k-2)-\frac{!(-1)}{(k+1)!}} \Bigg \rfloor$

Деривацията на $\int_{0}^{\infty}e^{-t}\frac{t^k-1}{t-k}dt$ не мога да я намеря, а и сигурно е много редове. Просто се надявам, че доверието ми в Алфа може да бъде обосновано...
$x! \in O(n^n) \Rightarrow \frac{!(-1)}{(k+1)!}$ се смалява много по-бързо от колкото $!(-k-2)$ за големи стойности на $k$, и така като работим във "floor" функция, елемента става незначим $\Rightarrow \Lambda(k) = \Bigg \lfloor \frac{1}{!(-k-2)}\Bigg\rfloor=\Bigg\lfloor\frac{e}{\Gamma(-k-1, -1)}\Bigg\rfloor = \Bigg\lfloor\frac{e}{\int_{-1}^{\infty}e^{-t}t^{-k-1}dt}\Bigg\rfloor $

Разглеждаме функцията в скобите и представяме Лемма:

$k-1 \le \frac{e}{\int_{-1}^{\infty}e^{-t}t^{-k-1}dt} < k$
$\frac{1}{k-1} \ge \frac{1}{e} \int_{-1}^{\infty}e^{-t}t^{-k-1}dt > \frac{1}{k}$

Използваме неравенството на Шварц:

$\frac{1}{e}\Bigg[\int_{-1}^{\infty}e^{-2t}dt\Bigg]^\frac{1}{2}\Bigg[\int_{-1}^{\infty}t^{-2k-2}dt\Bigg]^\frac{1}{2} > \frac{1}{e} \int_{-1}^{\infty}e^{-t}t^{-k-2}dt > \frac{1}{k}$

Сега тука използваме една малко спорна идея, именно че $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2k+2}}dx = 0$ където $k \in \N$. Колко е валидно, не съм сигурен, но сметките горе долу излизат.

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2(2k+2)}} > \frac{1}{k}$

$\Rightarrow 2\sqrt{k+1} < k$

Едното неравенство готово, сега другото:
$\frac{1}{e} \int_{-1}^{\infty}e^{-t}t^{-k-2}dt \le \frac{1}{k-1}$

($k-1)*!(-k-2) \le 1$ .... и тука допрях ръба. Вярно е за $k>4$,

Разбираме че функцията е между $k-1$ и $k$ следователно:

$\Rightarrow \Lambda(x)=x-1$
$\Rightarrow \Lambda(2009)=2008$

[drago]

Нека $A:= \frac{2010!}{1!+2!+\dots+2009!}$. Имаме
$$\frac{2010!}{2\cdot 2008!+2009!}<A<\frac{2010!}{ 2008!+2009!}$$
$$2008<A<2009$$
Това е.

Btw, Фубини няма общо с набеденото за това. И не знам що е деривация.

[Sup3rlum]

Нека $A:= \frac{2010!}{1!+2!+\dots+2009!}$. Имаме
$$\frac{2010!}{2\cdot 2008!+2009!}<A<\frac{2010!}{ 2008!+2009!}$$
$$2008<A<2009$$
Това е.

Btw, Фубини няма общо с набеденото за това. И не знам що е деривация.

На Фубини е точно теоремата, за смяна на ред на интегриране/сумация, стига границитe да не зависят от променливи. И точно това съм направил - смяна на сумация и интеграл.

А доказателството че $2.2018! < 1!+2!+3! .... + 2008!$ е малко от същата категория като оригиналния въпрос.

[drago]

Теоремата на Фубини се отнася за смяна реда на сумиране/интегриране при безкраен ред. Когато имаме краен брой събираеми, това е елементарно свойство на интеграла - в дебелите книги му викат адитивност на интеграла.

Колкото до проверката, че $2\cdot 2018!>1!+2!+\dots+2018!$. Това е еквивалентно на $2018!>1!+2!+\dots+2017!$.
$$2018!=2017!\cdot 2018=\underbrace{2017!+2017!+\dots +2017!}_{\text{2018 пъти}}>2017!+2016!+\dots +2!+1! $$