SEEMOUS 2019

[Kre4etalo]

Задачите от Югоизточно-европейската олимпиада за студенти. В олимпиадата може да участват само студенти до втори курс.
Линкове към олимпиадата в предишни години може да видите тук.

[drago]

Ха, редица "Девин!"! Това нещо си има добре известно име, а революция с промяна на означенията не се прави, нали?

[drago]

Тук може да видите решения и коментари на задачите:
Problem 1: https://artofproblemsolving.com/community/c7h1804952
Problem 2: https://artofproblemsolving.com/community/c7h1804821
Problem 3: https://artofproblemsolving.com/community/c7h1804333
Problem 4: https://artofproblemsolving.com/community/c7h1801895

Хубаво е да има повече такива събития. Опимист съм, но няма как да не споделя едни мисли, които ми хрумнаха като четях условията. Съжалявам. Ами, така както е написана, задача 1 е просто невярно твърдение. Имам предвид, ако един студент чете условието и доказва буквално това, което е написано (както и трябва да бъде), той няма да успее. Ето тази посока на еквивалентността:
$$(*)\,\,\,\,\,\,\,\,\forall k\in\mathbb{Z}_{\geq 0},\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^k = \frac{1}{k+1}\implies (x_n)\text{ е "Девин"}$$
Та въпросният студен иска да докаже това и гледа какво означава това животно "Девин". В дефиницията пише, че това значи $0\leq x_n\leq 1$ плюс още нещо допълнително. Ами, съжалявам, ама от $(*)$ няма как да получим, че $0\leq x_n\leq 1$, защото просто това не е вярно. Например, ако вземем една равномерно разпределена в интервала $[0,1]$ редица $(x_n)$ и променим краен броя нейни членове и ги направим равни на $2$, условието $(*)$ ще се запази, но не всички членове на $(x_n)$ ще са между 0 и 1.
И не мисля, че проблемът е само с българския текст, тъй като и английския вариант (от сайта на състезанието) е същия. В линка по-горе, съм написал условието, така, че да е вярно.

Няма да коментирам други дребни грешчици, като например пише се че трябва да е изпълнено $0\leq x_n\leq 1$, ама какво е това $n$? Айде, това е дреболия. Ами в задача 2 е написано да се докаже нещо за произволни квадратни матрици $A_1,A_2,\dots,A_m$. Според мен това би следвало да значи, че всяка матрица е квадратна, обаче няма намек, че всичките те трябва да имат една размерност, иначе няма как да ги събираме. Дреболия отново... да, ама много неточности станаха.