Задачи от ДИ

[nelson88]

Здравейте,
някой може ли да помогне със задачи от снимката?
Благодаря!
Успешен ден!

[Sup3rlum]

$f(x)=x^2+ax+a-4$

Корените:

$x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4a+16}}{2}$
$x_{1,2}-a=\frac{-3a\pm\sqrt{a^2-4a+16}}{2}$

Щом са реални и различни, $a^2-4a+16>0$, е вярно за всяко $a$.

Щом знаем корените $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)$

Тогава, и ще заменя дискриминантата с $D$:

$x_1f(x_2-a)=\frac{-a-D}{2}\bigg(\frac{-3a+D}{2} - \frac{-a-D}{2}\bigg)\bigg(\frac{-3a+D}{2} - \frac{-a+D}{2}\bigg) = \frac{-a-D}{2}(-a+D)(-a)=-2ax_1x_2$

$x_2f(x_1-a)=\frac{-a+D}{2}\bigg(\frac{-3a-D}{2} - \frac{-a-D}{2}\bigg)\bigg(\frac{-3a-D}{2} - \frac{-a+D}{2}\bigg) = \frac{-a+D}{2}(-a-D)(-a)=-2ax_1x_2$

$x_1f(x_2-a)+x_2f(x_1-a)=-4ax_1x_2$

По формулите на Виет знаем, че $x_1x_2=a-4$

$\Rightarrow x_1f(x_2-a)+x_2f(x_1-a)=\boxed{16a-4a^2}$

Ако $x_1<x_2$ и $x_1,x_2 \in (-\infty, 1)$

Стойностите за които, $x_1<x_2$:

$\frac{-a-D}{2}<\frac{-a+D}{2}$
$\frac{-a-D}{2}-\frac{-a+D}{2}<0$
$-2D<0$
$D>0$

Което е винаги вярно за $\forall a$

Разглеждаме:

$x_1<x_2<1$
$x_2<1$

$\frac{-a+D}{2}<1$

$-a+D<2$
$D<2+a$, но вече знаем, че $D>0 \forall a \Rightarrow 2+a>0, a>-2$
$D^2<(a+2)^2$
$a^2-4a+16<a^2+4a+4$
$-8a<-12$
$\boxed{a>1.5}$

Ако $|x_1|=|x_2+1| \Rightarrow x_1^2=(x_2+1)^2$
$(x_1-x_2-1)(x_1+x_2+1)=0$

$(-a-D+a-D-2)(-a-D-a+D+2)=0$
$(-2D-2)(-2a+2)=0$
$(D+1)(a-1)=0$

Тогава $D+1=0$ или $a-1=0$, $D=-1$ при което няма реални решения за $a$.

Другия случай $a=1$

$\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$

[123a]

Задача 3

A)[tex]\frac{AM}{MB}=t=>\frac{AM}{AB}=\frac{t}{t+1}[/tex]

$\frac{DQ}{AQ}=t=>\frac{AD}{AQ}=t+1$

Правим отношението

$\frac{S_{AMQ}}{S_{ABD}}=\frac{AM.AQ}{AB.AD}$ и заместваме горните две равенства и получаваме $\frac{S_{AMQ}}{S_{ABD}}=\frac{t}{(t+1)^2}$

б)
Аналогично правим подобни отношения за другите три триъгълника и получаваме

$\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}}=\frac{t}{(t+1)^2}$, $\frac{S_{PCN}}{S_{CBD}}=\frac{t}{(t+1)^2}$, $\frac{S_{DPQ}}{S_{ACD}}=\frac{t}{(t+1)^2}$

$S_{MNPQ}=S_{ABCD}-(S_{MBN}+S_{AMQ}+S_{PCN}+S_{DPQ})$

$S_{MNPQ}=S_{ABCD}-\frac{t}{(t+1)^2}(S_{ABC}+S_{CBD}+S_{ACD}+S_{ABD)}$

$S_{MNPQ}=S_{ABCD}-\frac{t.2S_{ABCD}}{(t+1)^2}$

$S_{MNPQ}=\frac{S.t^2+2St+S-2tS}{(t+1)^2}$ $=>\frac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}=\frac{t^2+1}{(t+1)^2}$

в)

$f(t)=\frac{t^2+1}{(t+1)^2}=>f'(t)=\frac{2t^2-2}{(t+1)^4}$

$f'(t)=0=>t=\pm1$ , но $t>0$!
НМС се достига при $t=1=>f_{min}=f(1)=\frac{1}{2}$