polynomials

[man111]

If [tex]p[/tex] be a non zero polynomial such that [tex]p(1-x)=p(1+x)[/tex] for all real [tex]x[/tex]

And [tex]p(1)=0[/tex]. Then largest positive integer [tex]m[/tex] such that

[tex](x-1)^{m}[/tex] divides polynomial [tex]p(x)[/tex] for all polynomial [tex]p(x),[/tex] is

[vezni]

Скрит текст: покажи

Полиномът [tex]p(x)=(x-1)^2[/tex] отговаря на изискванията, откъдето следва, че [tex]m\leq 2[/tex]. Ще докажем, че [tex]m=2[/tex].
Дефинираме полинома [tex]f(x)=p(1+x)[/tex]. Тогава [tex]f(-x)=p(1-x)=p(1+x)=f(x)[/tex]. Значи [tex]f(x)[/tex] е четен полином и се състои само от четни степени на [tex]x[/tex]:
[tex]f(x)=a_nx^{2n}+a_{n-1}x^{2n-2}+\dots+a_1x^2+a_0[/tex], като [tex]n\geq 1[/tex], защото е неконстантен.
Освен това [tex]f(0)=p(1)=0 \Rightarrow a_0=0[/tex]
И можем да получим вида на [tex]p(x)[/tex]:
[tex]p(x)=f(x-1)=a_n(x-1)^{2n}+a_{n-1}(x-1)^{2n-2}+\dots+a_1(x-1)^2[/tex]
Очевидно [tex](x-1)^2\mid p(x)[/tex].