Доказателство за ЛНЗ вектори

[Фати00]

Дадени са линейно независимите вектори [tex]\vec{a}[/tex], [tex]\vec{b}[/tex] с дължина 1 и ъгъл между тях 60°. Нека [tex]\vec{ОА}[/tex] = [tex]\vec{a}[/tex] × [tex]\vec{b}[/tex], [tex]\vec{OB}[/tex] = [tex]\vec{b}[/tex] × ([tex]\vec{a}[/tex] × [tex]\vec{b}[/tex]) и [tex]\vec{ОС}[/tex] = 2[tex]\vec{a}[/tex]. Да се докаже, че векторите [tex]\vec{ОА}[/tex], [tex]\vec{ОВ}[/tex] и [tex]\vec{ОС}[/tex] са линейно независими.

[vezni]

Предполагам, че разполагаш с формула за двойно векторно произведение.
[tex]\vec{OB}=(\vec{b}\vec{b})\vec{a}-(\vec{b}\vec{a})b=\vec{a}-\frac 12\vec{b}[/tex], понеже [tex]\vec{b}\vec{a}=1.1.\cos(60^{\circ})=\frac 12[/tex].
Оттук лесно следва, че [tex]\vec{OB}[/tex] и [tex]\vec{OC}[/tex] са независими:
[tex]\alpha\vec{OB}+\beta\vec{OC}=\vec{0}\Rightarrow (\alpha+2\beta)\vec a-\frac 12\alpha\vec{b}=\vec{0}\Rightarrow \alpha=0\Rightarrow \beta=0[/tex].
После следва, че [tex]\vec{OA}[/tex], [tex]\vec{OB}[/tex] и [tex]\vec{OC}[/tex] са независими, защото [tex]\vec{OA}[/tex] е ортогонален на [tex]\vec a[/tex] и [tex]\vec b[/tex] (свойство на векторно произведение), значи е ортогонален на всяка тяхна линейна комбинация, тоест на [tex]\vec{OB}[/tex] и [tex]\vec{OC}[/tex].