Polynomials

[man111]

Finding coefficient of $x^{97}$ in $\displaystyle \bigg(x-\binom{99}{0}\bigg)\bigg(x-\binom{99}{1}\bigg)\cdots\cdots\bigg(x-\binom{99}{98}\bigg)\bigg(x-\binom{99}{99}\bigg)$

[Добромир Глухаров]

I'm getting there:

$\sum_{k=0}^{98}\sum_{l=k+1}^{99}{{99}\choose{k}}{{99}\choose{l}}\left({{99}\choose{k}}+{{99}\choose{l}}-2^{99}\right)$

[vezni]

Има [tex]100[/tex] скоби. Трябва да изберем [tex]x[/tex] от [tex]97[/tex] скоби и от останалите [tex]3[/tex] да изберем числото в скобите. Значи коефициентът е
[tex]-\sum_{0\leq i<j<k\leq 99}{99\choose i}{99\choose j}{99\choose k}[/tex] (със знак минус отпред). Тази сума се съдържа в

[tex]\left({99\choose 0}+{99\choose 1}+{99\choose 2}+\dots+{99\choose 99}\right)^3=\left(2^{99}\right)^3=8^{99}[/tex]. Трябва да извадим сумата на биномите, когато поне [tex]2[/tex] от индексите са равни. Само че умножена по [tex]3[/tex], защото [tex]{99\choose i}{99\choose i}[/tex] се избира по [tex]3[/tex] начина. Тоест изваждаме
[tex]3\sum_{i=0}^{99}\sum_{j=0}^{99}{99\choose i}^2{99\choose j}=3.2^{99}.{198\choose 99}[/tex]. По този начин сме извадили сумите на [tex]{99\choose i}^3[/tex] два пъти повече. Прибавяме
[tex]2\sum_{i=0}^{99}{99\choose i}^3[/tex], за която сума нямам формула. Накрая се разделя на [tex]6[/tex], понеже тройките [tex](i,j,k)[/tex], където индексите са различни числа, имат [tex]3!=6[/tex] пермутации. В крайна сметка се получава
[tex]-\frac 16\left(8^{99}-3.2^{99}.{198\choose 99}+2\sum_{i=0}^{99}{99\choose i}^3\right)[/tex]. Последната сума с трета степен евентуално може да се сметне с калкулатор / компютър.