maximum of definite Integration

[man111]

Maximum value of [tex]\displaystyle \int^{1}_{0}\bigg(f(x)\bigg)^3dx[/tex] under the condition [tex]-1 \leq f(x) \leq 1[/tex] and [tex]\displaystyle \int^{1}_{0}f(x)dx=0[/tex]

[KOPMOPAH]

Here are some thoughts about this

[man111]

Thanks friends i have got it.

[tex]\displaystyle \int^{1}_{0}\bigg(f(x)\bigg)^3dx = \int^{1}_{0}\bigg[\bigg(f(x)\bigg)^3-1\bigg]dx+1[/tex]

[tex]\displaystyle \int^{1}_{0}\bigg[\bigg((f(x))-1\bigg)\cdot \bigg((f(x))^2-f(x)+1\bigg)\bigg]dx+1[/tex]

[tex]\displaystyle \int^{1}_{0}\bigg[(f(x)-1)\cdot \bigg(\bigg(f(x)+\frac{1}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}\bigg)\bigg]dx+1[/tex]

[tex]\displaystyle \underbrace{\int^{1}_{0}\bigg[(f(x)-1)\cdot \bigg(f(x)+\frac{1}{2}\bigg)^2\bigg]dx}_{\leq 0}+\frac{3}{4}\int^{1}_{0}\bigg[f(x)-1\bigg]dx+1[/tex]

[tex]\displaystyle \int^{1}_{0}\bigg(f(x)\bigg)^3dx\leq \frac{1}{4}[/tex] equality hold when [tex]f(x)=1[/tex] or [tex]\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}.[/tex]

[Румен Симеонов]

Thanks friends i have got it.

[tex]\displaystyle \int^{1}_{0}\bigg(f(x)\bigg)^3dx = \int^{1}_{0}\bigg[\bigg(f(x)\bigg)^3-1\bigg]dx+1[/tex]

[tex]\displaystyle \int^{1}_{0}\bigg[\bigg((f(x))-1\bigg)\cdot \bigg((f(x))^2-f(x)+1\bigg)\bigg]dx+1[/tex]

[tex]\displaystyle \int^{1}_{0}\bigg[(f(x)-1)\cdot \bigg(\bigg(f(x)+\frac{1}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}\bigg)\bigg]dx+1[/tex]

[tex]\displaystyle \underbrace{\int^{1}_{0}\bigg[(f(x)-1)\cdot \bigg(f(x)+\frac{1}{2}\bigg)^2\bigg]dx}_{\leq 0}+\frac{3}{4}\int^{1}_{0}\bigg[f(x)-1\bigg]dx+1[/tex]

[tex]\displaystyle \int^{1}_{0}\bigg(f(x)\bigg)^3dx\leq \frac{1}{4}[/tex] equality hold when [tex]f(x)=1[/tex] or [tex]\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}.[/tex]

Много хубаво решение, един знак е сбъркан чисто машинописно. Учудващо е посочено, че горната граница 1/4 е максимум защото се достигала за функциите 1 и -1/2, а те не са в множеството, в което се търси максимума - не им е нула интегралът от тях. Обаче, моите 5 стотинки, 1/4 все пак е максимум, защото е горна граница, която се достига - например, достига се за функцията:
[tex]f(x):=\begin{cases} 1, 0\leqq x \leqq 1/3 \\ -1/2,1/3 < x \leqq 1\end{cases}[/tex].