range of p

[man111]

If the equation [tex]\csc^2(x)+\csc(x)-p-1=0[/tex] has at least one real roots. Then range of [tex]p[/tex] is

[vezni]

Задачата е по-скоро от раздел "квадратни функции". Да положим [tex]t=\csc x=\frac{1}{\sin x}, t\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty)[/tex]. Записваме уравнението
във вида [tex]t^2+t-1=p[/tex] и нека [tex]f(t)=t^2+t-1[/tex]. Върхът на параболата на [tex]f(t)[/tex] е с абсциса [tex]-\frac 12[/tex], [tex]f(t)[/tex] е намаляваща
в интервала [tex](-\infty,-1][/tex] и растяща в [tex][1,\infty)[/tex]. Имаме
[tex]f(-1)=-1, f(1)=1, \lim_{t\to\pm\infty}f(t)=\infty[/tex]. Значи [tex]f(t)\in [-1,\infty)[/tex]. Търсените стойности са [tex]p\geq -1[/tex].

[man111]

Thanks vezni

[tex]\displaystyle \Longrightarrow \csc^2(x)+\csc(x)+\frac{1}{4}-p-\frac{5}{4}=0[/tex]

[tex]\displaystyle \Longrightarrow \bigg(\csc(x)+\frac{1}{2}\bigg)^2=p+\frac{5}{4}[/tex]

for [tex]|\csc(x)|\geq 1[/tex] for [tex]x\in[0,2n\pi]-(2n-1)\pi\forall n\in \mathbb{Z}[/tex]

[tex]\displaystyle \Longrightarrow p+\frac{5}{4}\geq \bigg(-1+\frac{1}{2}\bigg)^2\Longrightarrow p\geq -1[/tex]