Линейните интеграли

[shtelian]

Здравейте, нужна ми е отново вашата помощ с тези линейните интеграли. Ще се радвам, ако някой може да ми помогне, с колкото може по възможност.

[Добромир Глухаров]

5.) $L:\ y=\sqrt{x},\ 0\leq x\leq1$

$\int_L(x+y)dx+(x-ay)dy=?$

Първи начин: $dy=(\sqrt{x})'_xdx=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$

$\Rightarrow\int_L(x+y)dx+(x-ay)dy=\int_0^1(x+\sqrt{x})dx+(x-a\sqrt{x})\frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\\=\int_0^1\left(x+\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}-\frac{a\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\right)dx=\int_0^1\left(x+\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{a}{2}\right)dx=\\=\int_0^1\left(x+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-\frac{a}{2}\right)dx=\frac{x^2}{2}|_0^1+\frac{3}{2}\cdot\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|_0^1-\frac{ax}{2}|_0^1=\\=\frac{1}{2}+1-\frac{a}{2}=\frac{3-a}{2}$

Втори начин: $L\equiv L':x=y^2,\ 0\leq y\leq1;\ dx=2ydy$

$\Rightarrow\int_L(x+y)dx+(x-ay)dy=\int_0^1(y^2+y).2y.dy+(y^2-ay).dy=\\=\int_0^1(2y^3+2y^2+y^2-ay).dy=\int_0^1(2y^3+3y^2-ay).dy=\\=\frac{2}{4}y^4|_0^1+y^3|_0^1-\frac{ay^2}{2}|_0^1=\frac{1}{2}+1-\frac{a}{2}=\frac{3-a}{2}$

Забележка: $\Phi'(x)=f(x)\Rightarrow\int_a^bf(x)dx=\Phi(x)|_a^b=\Phi(b)-\Phi(a)$ - формула на Нютон-Лайбниц.

[shtelian]

Добромир Глухаров, много ти благодаря!

[shtelian]

Здравейте, нужна ми е отново вашата помощ с тези линейните интеграли. Ще се радвам, ако някой може да ми помогне, с колкото може по възможност.

Стойността на а=8, съжалявам, че не съм отбелязал.