Диференциални уравнения

[shtelian]

Здравейте, имам питане даали някой може да помогне с Диференциални уравнения, като прилагам задачата ми.
Ще съм много благодарен, ако някой може да помогне!

[Knowledge Greedy]

1.) [tex]tx'=xlnx[/tex]
Тази е с разделящи се променливи.

1.а) [tex]t\frac{dx}{dt}=xlnx[/tex]

[tex]\frac{dx}{xlnx}=\frac{dt}{t}[/tex]

[tex]\int\frac{dx}{xlnx}=\int\frac{dt}{t}[/tex]

[tex]\int\frac{d(lnx)}{lnx}=\int\frac{dt}{t}[/tex]

[tex]\int\frac{d(lnx)}{lnx}=ln(Ct)[/tex]

[tex]ln(lnx)=ln(Ct)[/tex]

[tex]x=e^{Ct}[/tex]

Може да бъде записан и като [tex]x=Ce^t[/tex]

1. b) [tex]\frac{t^2dx}{dt}=-(t-1)x[/tex]

Разделяме променливите [tex]\frac{dx}{x}= -\frac{t-1}{t^2}dt[/tex]

и след това интегрираме. [tex]x=\frac{C}{t}e^{-\frac{1}{t}}[/tex]

[Knowledge Greedy]

2. c) [tex](t^2+tx)x'=t^2+x^2[/tex]

Умножаваме още по 2

[tex]2(t^2+tx)x'=2(t^2+x^2)[/tex]

и забелязваме, че лявата страна е производна [tex](t^2+x^2)'=2(t^2+x^2)[/tex]
(Как става? - Ами интегрираме и диференцираме ).

След това представяме [tex]\frac{d(t^2+x^2)}{dt}=t^2+x^2[/tex]

и още
Интегрираме [tex]\int\frac{d(t^2+x^2)}{t^2+x^2}=\int dt[/tex]

[tex]ln(t^2+x^2)=t+C[/tex]

И, ако се налага, привеждаме в явен вид.

[Sup3rlum]

[tex]x=e^{Ct}[/tex]

Може да бъде записан и като [tex]x=Ce^t[/tex]

Това е доста груба грешка

и забелязваме, че лявата страна е производна $(t^2+x^2)'=2(t^2+x^2)$

И това изглежда като доста груба грешка

$\frac{d(t^2+x^2)}{dt}=2t+2xx' \ne 2(t^2+tx)x'$


И според алфата, отговора не изглежда особено привлекателен

[Knowledge Greedy]

[tex]x=e^{Ct}[/tex] може да се представи като [tex]x=e^{C}e^{t}[/tex]
А сега да наречем с ново име, примерно [tex]C_1[/tex] константата [tex]e^{C}[/tex].
Решението добива вида [tex]x=C_1e^{t}[/tex].
Първата забележка на Superlum отпада.

[Sup3rlum]

[tex]x=e^{Ct}[/tex] може да се представи като [tex]x=e^{C}e^{t}[/tex]
А сега да наречем с ново име, примерно [tex]C_1[/tex] константата [tex]e^{C}[/tex].
Решението добива вида [tex]x=C_1e^{t}[/tex].
Първата забележка на Superlum отпада.

Колега, много съм възмутен

Да не би да сме забравили правилата за степени?

Имаме $x=e^{Ct}=(e^t)^C$ А НЕ $x=e^{C+t}=e^Ce^t$.


$Ce^t$ и $e^{Ct}$, два различни безкрайно измерни вектора, са линейно зависими само и единствено за $C=1$, за всички останали случаи е абсолютно недопустимо това