Да се решат уравненията относно x (t)

[shtelian]

mat15.png (11.29 KiB) Прегледано 351 пъти

Здравейте, имам нужда от помощ, отново! Ще съм благодарен ако някой удари по едно рамо!

[Knowledge Greedy]

1. а) [tex]x'+2tx=te^{-t^2}[/tex] е ЛДУ (линейно диференциално уравнение) - от вида [tex]x'+p(t)x=q(t)[/tex]

То има интеграл [tex]x=e^{-\int p(t)dt} \left [ C+\int q(t)e^{\int p(t)dt}dt \right ][/tex] (това е форма на О.Кошѝ)


В случая [tex]p(t)=2t[/tex] и [tex]q(t)=te^{t^2}[/tex] и с директно завестване, получаваме отговора

[tex]x=e^ {-\int 2tdt}\left [ C+\int te^{-t^2}e^{-\int 2tdt}dt \right ][/tex]

[tex]x=e^ {-\int 2tdt}\left [ C+\int te^{-2t^2}dt \right ][/tex]

[tex]x=e^ {-t^2}\left [ C+\frac{1}{2}\int e^{-2t^2}dt^2 \right ][/tex]

[tex]x=e^ {-t^2}\left [ C-\frac{1}{2}\int e^{-2t^2}d(-t^2) \right ][/tex]

[tex]x=e^ {-t^2}\left [ C-\frac{1}{4}\int e^{-2t^2}d(-2t^2) \right ][/tex]

или още така - без скоби

[tex]x= Ce^ {-t^2}-\frac{1}{4}e^{-3t^2}[/tex]

1. б) Отново Л Д У
След делене на [tex](t^2+1)[/tex] привеждаме във вид с

[tex]p(t)=\frac{t}{t^2+1}[/tex] и [tex]q(t)=t^{3}(t^2+1)[/tex] и т.н.т.