Въпрос за квадрат на матричен тензор

[Гост]

Здравейте, задачата е следната: имаме матричен тензор [tex]\eta^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -v & 0 & 0 \\
0 & 0 & -v & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex].

Тогава вярно ли е, че ако използваме правилото за сумиране на Айнщайн [tex]\eta_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}=\eta_{11}\eta^{11}+\eta_{22}\eta^{22}+\eta_{33}\eta^{33}+\eta_{44}\eta^{44}=2+2v^2[/tex]?

[Sup3rlum]

Обектите $\eta^{\mu\nu}$ и $\eta_{\mu\nu}$ са два различни вида тензори - първият е контравариантен тензор, а вторият е ковариантен, следователно техните матрични репрезентации имат различни елементи.

Продуктът $\eta_{ab}\eta^{cb}=\delta^c_a$ е смесен тензор

В такъв случай $\eta_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}=\delta_\mu^\mu=4$ защото повтаряме индекса на тензора, и според правилото на Айнщайн сумация, събираме диагоналните елементи на $\delta$, което ни дава скаларно поле.