Задача със граница на функция

[Гост]

Задачата е: [tex]\lim_{x \to \infty} (e^x-e^sinx) / x -sinx[/tex]Забелязвам, че степените имат нещо общо със знаменателя, но не се сещам как да опростя и да намеря границата.

[Гост]

Извинявам се за грешките в записа. Трябва второто е да е на степен sinx, а после х-sinx да е под знаменателя.

[Петър Евгениев]

Задачата е: [tex]\lim_{x \to \infty} (e^x-e^sinx) / x -sinx[/tex]Забелязвам, че степените имат нещо общо със знаменателя, но не се сещам как да опростя и да намеря границата.

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}(1- e^{\sin x-x})}{x (1-\frac{\sin x}{x}) } =\frac{(1-0)}{(1-0)}.\lim _{ x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x}= \infty.$$
За това, че $\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x } {x} = 0 = \lim _{x \to \infty} \frac{1}{e^{x-sinx}}.$
$$0 \leq \left|\frac{\sin x}{x} \right| \leq \left|\frac{1}{x} \right| \underset{x \to \infty}{\longrightarrow} 0.$$
Затова и от Лемата за двмата полицаи $ \lim _{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0.$
$$0 \leq \left| \frac{e^{\sin x}}{e^{x}} \right| \leq \left|\frac{e}{e^{x}} \right| \underset{x \to \infty}{\longrightarrow} 0.$$
И пак по върпосната лема $\lim _{x \to \infty} e^{\sin x - x} = 0.$