Интересна сума на arccos

[Skygear]

[tex]\frac{2016}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \arccos{\frac{n^2 + n + 3}{\sqrt{n^2 +3}*\sqrt{n^2 + 2n + 4}} }[/tex] . Задачата ми я пратиха преди няколко седмици и ми стана интересно. Уви не съм сигурен как се решават и стигнах само до тривиални(или по-скоро не особено полезни) заключения, като че изразът, който служи за аргумент стига до 1 при [tex]\lim_{n \to \infty}n[/tex] и че самият arccos стига до 0 при [tex]\lim_{n \to \infty}n[/tex]. Обаче как всъщност да го реша си нямам и понятие, и тъй като се готвя за кандидатстуденски изпити, не искам да хабя особено много време и енергия на задачи за фън (тъй като имам много материал да наваксвам, а остават по-малко от 2 месеца до първата изпитна сесия). Така де, реших да споделя задачата, защото изглежда интересна.

[Skygear]

Заглавието май трябваше да е серия? Изобщо не съм на ти с терминологийте. Също ако някой се чуди какво всъщност е условието: "Намерете стойността на израза"

[KOPMOPAH]

Много хубава задача! Струва ми се, обаче, че тя излиза извън обхвата на обикновените кандидатстудентски задачи, по-скоро е олимпиадна.

Ето едно възможно решение (не е мое)
$$\sum_{n=1}^\infty \arccos{\frac{n^2 + n + 3}{\sqrt{n^2 +3}\cdot\sqrt{n^2 + 2n + 4}}}=\cdots=\sum_{n=1}^\infty \operatorname{arcctg}\frac{n^2+n+3}{\sqrt{3}}$$

$$\operatorname{arcctg} x-\operatorname{arcctg} y = \operatorname{arcctg}\frac{1+xy}{x-y},~~y=n/\sqrt{3},\ x=(n+1)/\sqrt{3}$$
$$=\sum_{n=1}^\infty \left(\operatorname{arcctg}((n+1)/\sqrt{3})-\operatorname{arcctg}(n/\sqrt{3})\right)=\cdots=\pi/3$$

[Skygear]

Много хубава задача! Струва ми се, обаче, че тя излиза извън обхвата на обикновените кандидатстудентски задачи, по-скоро е олимпиадна.

Ето едно възможно решение (не е мое)
$$\sum_{n=1}^\infty \arccos{\frac{n^2 + n + 3}{\sqrt{n^2 +3}\cdot\sqrt{n^2 + 2n + 4}}}=\cdots=\sum_{n=1}^\infty \operatorname{arcctg}\frac{n^2+n+3}{\sqrt{3}}$$

$$\operatorname{arcctg} x-\operatorname{arcctg} y = \operatorname{arcctg}\frac{1+xy}{x-y},~~y=n/\sqrt{3},\ x=(n+1)/\sqrt{3}$$
$$=\sum_{n=1}^\infty \left(\operatorname{arcctg}((n+1)/\sqrt{3})-\operatorname{arcctg}(n/\sqrt{3})\right)=\cdots=\pi/3$$

Не е кандидатстудентска, прав си. Че се готвя за тях ми е оправданието за това не съм вкарал време да я реша . Човекът, който ми я прати каза че я е взел от книгата "The Stair-Step Approach in Mathematics" , ако някой се интересува. Аз като(ако) си мина изпитите лично мисля да я пробвам.

[Skygear]

Благодаря!