Полиноми

[shana]

Бихте ли ми помогнали в решаването на тази задача?
Намерете най-големия общ делител d(x) на полиномите с рационални коефициенти f(x) и g(x) , където:
f(x)= x4+x3+2x2-2x-8
g(x)=x3+6x2+9x+20
Намерете и полиноми u(x) и v(x), за които u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)
Благодаря предварително!

[peyo]

Бихте ли ми помогнали в решаването на тази задача?
Намерете най-големия общ делител d(x) на полиномите с рационални коефициенти f(x) и g(x) , където:
f(x)= x4+x3+2x2-2x-8
g(x)=x3+6x2+9x+20
Намерете и полиноми u(x) и v(x), за които u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)
Благодаря предварително!

Явно този тук:
$g(x)=x^3+6x^2+9x+20$

Ще има парабола която ще е най-големия общ делител. Значи единствено трябва да намерим един корен на горното уравнение.

От делителите на 20:
+-1,+-2,+-4,+-5,+-10
Решение е -5, значи делим $g(x)$ на $x+5$:

$g(x)=x^3+6x^2+9x+20= x^3+5x^2 +x^2 +5x+ +4x + 20 = x^2(x+5) +x(x +5) +4(x + 5)= (x+5)(x^2+x+4)$

$d(x) = x^2+x+4$

$f(x)=x^4+x^3+2x^2-2x-8 = x^4+x^3+4x^2 - 2x^2 -2x -8 = x^2(x^2+x+4) -2(x^2+x+4)$
$f(x)=(x^2-2)(x^2+x+4) = (x^2-2)d(x)$

Намерете и полиноми u(x) и v(x), за които u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)

$ u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)$

$ u(x)(x^2-2)d(x)+v(x)(x+5)d(x)=d(x)$

$ u(x)(x^2-2)+v(x)(x+5)=1$

Тук ше направим малко предположение, например, че u(x) трябва да е от първа степен поне, а v(x) От втора за да се съратят изцяло, освен това третите степени да се съкратят трябва едното на е -1 а другото 1, и така искаме:

$ u(x)= -x+a$
$v(x) = x^2 +bx+c$

И заместваме и решаваме:

$ (-x+a)(x^2-2)+(x^2 +bx+c)(x+5)=1$

$a x^{2} - 2 a + b x^{2} + 5 b x + c x + 5 c + 5 x^{2} + 2 x = 1$
$a x^{2} + 5 x^{2} + b x^{2} + 5 b x + c x + 2 x - 2 a + 5 c= 1$
$x^{2}(a + 5 + b) + x(5 b + c + 2 ) - 2 a + 5 c = 1$

[tex]\begin{array}{|l} a + 5 + b = 0 \\ 5 b + c + 2 = 0 \\ - 2 a + 5 c = 1 \end{array}[/tex]

In [370]: solve([a + 5 +b , 5*b + c + 2, - 2 *a + 5 *c - 1])
Out[370]: {a: -114/23, b: -1/23, c: -41/23}

$ u(x)= -x - 114/23$
$v(x) = x^2 -(1/23)x-41/23$

С което задачата е решена.

[shana]

Благодаря много за решението на задачата!

[Sup3rlum]

Идеята тук е да се приложи разширения Евклидов алгоритъм с полиноми. Задачата е буквално описана така, че ако "полиноми с рационални коефиценти" се замести с "рационални/цели числа" да се стигне до такова условие.

$f(x)=x^4+x^3+2x^2-2x-8$
$g(x)=x^3+6x^2+9x+20$

Използвайки делене на полиноми:

$x^4+x^3+2x^2-2x-8=(x^3+6x^2+9x+20)(x-5)+(23x^2+23x+92)$
$x^3+6x^2+9x+20=(23x^2+23x+92)\bigg(\frac{1}{23}x+\frac{5}{23}\bigg)+ 0$

Или съответно:

$x^3+6x^2+9x+20=(x^2+x+4)(x+5)+ 0$

Давайки последен остатък НГД $x^2+x+4$

Работейки обратно по алгоритъма:

$\boxed{\frac{1}{23}(x^4+x^3+2x^2-2x-8)+\bigg(\frac{1}{23}x+\frac{5}{23}\bigg)(x^3+6x^2+9x+20)=x^2+x+4}$

[katiq_dimitrova]

Здравейте ,моля за помощ за решението на тези задачи :

Зад.1Намерете най-големия общ делител d(x) на полиномите с рационални коефициенти f(x) и g(x) , където:
f(x)= x4+x3-x2-2x-2
g(x)=x3+6x2+6x+5

Зад.2 Определете кратността на корена а=1 за полинома:
f(x) =x8+x7+3x5-6x4+3x3+8x2-x-3

Зад.3 Да се намерят стойностите на параметръра \displaystyle \lambdaλ ,за които произведението на два от корените на уравнението
x4 +4x3+9x2+20x +\displaystyle \lambdaλ = 0 е равно на произведението на другите два корена .

Зад.4 Да се разложат на неразложими множители над полето на рационалните числа полиномите :
1)f(x)=x5-3x4+x3-3x2+x-3
2)f(x)=x4-4x3+x2-24x+5

[Гост]

Може ли да помогнете със следния пример:
kамерете най-големия общ делител d(x) на полиномите с рационални коефициенти f(x) и g(x), където:
f(x) = x^4+x^3+x^2-2x-6
g(x) =x^3+6x^2+8x+15
Намерете и полиноми u(x) и v(x), за които u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x).

[ammornil]

Може ли да помогнете със следния пример:
kамерете най-големия общ делител d(x) на полиномите с рационални коефициенти f(x) и g(x), където:
f(x) = x^4+x^3+x^2-2x-6
g(x) =x^3+6x^2+8x+15
Намерете и полиноми u(x) и v(x), за които u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x).

[tex]f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}-2x-6=(x^{2}-2)(x^{2}+x+3)[/tex]
[tex]g(x)=x^{3}+6x^{2}+8x+15=(x+5)(x^{2}+x+3)[/tex]

[Гост]

Определете кратността на корена α = 1 за полинома
f(x) = x^8+9x^7-27x^6-6x^4+27x^3+8x^2-9x-3

[ammornil]

Определете кратността на корена α = 1 за полинома
f(x) = x^8+9x^7-27x^6-6x^4+27x^3+8x^2-9x-3

Screenshot 2023-04-06 120317.png (6.25 KiB) Прегледано 1585 пъти

Веднъж. Кратността е [tex]1[/tex].

[Гост]

Определете кратността на корена α = 1 за полинома
f(x) = x^8+9x^7-27x^5-6x^4+27x^3+8x^2-9x-3

[frozzy]

Бихте ли ми помогнали в решаването на няколко задачи, колкото повече чета лекции и сходни примери, толкова повече се омотах и блокирах.
Задача 1
Намерете най-големия общ делител d(x) на полиномите с рационални коефициенти f(x) и g(x) , където:
f(x)= x4+x3+4x2-2x-12
g(x)=x3+6x211x+30
Намерете и полиноми u(x) и v(x), за които u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)
Задача 2
Определете кратността на корена а=1 за полинома:
f(x) =x8+5x7-15x5-6x4+15x3+8x2-5x-3

Задача 3
Да се намерят стойностите на параметръра λ ,за които произведението на два от корените на уравнението
x4 +4x3+9x2+24x +λ = 0
е равно на произведението на другите два корена .

Задача 4

Зад.4 Да се разложат на неразложими множители над полето Q на рационалните числа полиномите :
1)f(x)=x5-3x4+11x3-33x2+36x-324
2)f(x)=x4-5x3+x2-35x+6

[ammornil]

Задача 1
Намерете най-големия общ делител d(x) на полиномите с рационални коефициенти f(x) и g(x) , където:
f(x)= x4+x3+4x2-2x-12
g(x)=x3+6x211x+30
Намерете и полиноми u(x) и v(x), за които u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)

В условието сте написали грешно втория полином, няма знак пред [tex]11x[/tex].

[ammornil]

Задача 2
Определете кратността на корена а=1 за полинома:
f(x) =x8+5x7-15x5-6x4+15x3+8x2-5x-3

Може би се има предвид корена [tex]x=1[/tex], защото даденият полином няма параметър [tex]a[/tex].
За решението можем да подходим по един от следните два начина: (1) Решетка на Хорнер, проверявайки за корен 1 колкото пъти е възможно или (2) последоватлно делене на дадения полином на [tex](x-1)[/tex], после частното отново на [tex](x-1)[/tex], и после новото частно и така нанатък, докато делението има остатък различен от нула.

(1)
[tex]\hspace{6em} f(x)=x^{8}+5x^{7}-15x^{5}-6x^{4}+15x^{3}+8x^{2}-5x-3 \\ \begin{matrix} x & +1 & +5 & 0 & -15 & -6 & +15 & +8 & -5 & -3 & V \\ 1 & 1 & 6 & 6 & -9 & -15 & 0 & 8 & 3 & \boxed{0} & \text{дели без осататък}\\ 1 & 1 & 7 & 13 & 4 & -11 & -11 & -3 & \boxed{0} & n.a. & \text{дели без осататък} \\ 1 & 1 & 8 & 21 & 25 & 14 & 3 & \boxed{0} & n.a. & n.a. & \text{дели без осататък}\\ 1 & 1 & 9 & 30 & 55 & 69 & \boxed{\red{72}} & n.a. & n.a. & n.a. & \text{не дели без осататък}\end{matrix}[/tex]
[tex]f(x)=(x-1)^{3}\cdot(x^{5}+9x^{4}+30x^{3}+55x^{2}+69x+72)[/tex]

(2)
[tex]\begin{array}{llllllllllll} &&&&&&&&& & \underline{x^{7}+6x^{6} \cdots} \\ 1x^{8} & +5x^{7} & +0x^{6} & -15x^{5} & -6x^{4} & +15x^{3} & +8x^{2} & -5x & -3 & | & x-1 \\ 1x^{8} &-1x^{7} \\ & 6x^{7} & +0x^{6} & -15x^{5} & -6x^{4} & +15x^{3} & +8x^{2} & -5x& -3 \\ & 6x^{7} & +6x^{6} & \cdots \end{array}[/tex]

[frozzy]

Задача 1
Намерете най-големия общ делител d(x) на полиномите с рационални коефициенти f(x) и g(x) , където:
f(x)= x4+x3+4x2-2x-12
g(x)=x3+6x211x+30
Намерете и полиноми u(x) и v(x), за които u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)

В условието сте написали грешно втория полином, няма знак пред [tex]11x[/tex].

Да, допуснала съм грешка.
f(x)= x4+x3+4x2-2x-12
g(x)=x3+6x2+11x+30

[ammornil]

Намерете най-големия общ делител d(x) на полиномите с рационални коефициенти f(x) и g(x), където:
f(x)= x4+x3+4x2-2x-12
g(x)=x3+6x2+11x+30
Намерете и полиноми u(x) и v(x), за които u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x)

[tex]\begin{array}{ll} f(x)=x^{4}+x^{3}+4x^{2}-2x-12&=x^{4}-2x^{2}+x^{3}-2x+6x^{2}-12=\\&=x^{2}(x^{2}-2)+x(x^{2}-2)+6(x^{2}-2)=\\ &=\boxed{(x^{2}-2)(x^{2}+x+6)} \\ g(x)=x^{3}+6x^{2}+11x+30&=x^{3}-5x^{2}+x^{2}-5x+6x-30=\\&=x^{2}(x-5)+x(x-5)+6(x-5)=\\ &=\boxed{(x-5)(x^{2}+x+6)} \end{array} \\ d(x)=\text{НОД}(f(x), g(x))=x^{2}+x+6[/tex]
[tex]\begin{array}{cll} u(x)=c, v(x)=ax+b \rightarrow & c(x^{2}-2)+(ax+b)(x-5)=1 \\ & cx^{2}-2c+ax^{2}-5ax+bx-5b=1 \\ & (c+a)x^{2}+(b-5a)x-5b-2c=1 \\ & \begin{array}{|l} c+a=0 \\ b-5a=0 \\ -5b-2c=1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} c=-a \\ b=5a \\ -5\cdot 5a-2\cdot (-a)=1 \end{array} \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow \begin{array}{|l} c=\frac{1}{23} \\ b=-\frac{5}{23} \\ a=-\frac{1}{23} \end{array} \end{array} \\ u(x)=\frac{1}{23}, v(x)=-\frac{1}{23}x-\frac{5}{23}[/tex]

[ammornil]

Задача 3
Да се намерят стойностите на параметръра λ ,за които произведението на два от корените на уравнението
x4 +4x3+9x2+24x +λ = 0
е равно на произведението на другите два корена .

[tex]\begin{array}{lll} x^{4}+4x^{3}+9x^{2}+24x+\lambda=0 \\ & x_{1}\cdot{x_{2}}=x_{3}\cdot{x_{4}} \\ +\text{Виет:} &\begin{array}{|l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{24}{\lambda} \\ x_{1}\cdot{x_{2}}+x_{1}\cdot{x_{3}}+x_{1}\cdot{x_{4}}+x_{2}\cdot{x_{3}}+x_{2}\cdot{x_{4}}+x_{3}\cdot{x_{4}}=\frac{9}{\lambda} \\ x_{1}\cdot{x_{2}}\cdot{x_{3}}+ x_{1}\cdot{x_{2}}\cdot{x_{4}} + x_{1}\cdot{x_{3}}\cdot{x_{4}} + x_{2}\cdot{x_{3}}\cdot{x_{4}} =-\frac{4}{\lambda} \\ x_{1}\cdot{x_{2}}\cdot{x_{3}}\cdot{x_{4}}=\frac{1}{\lambda} \end{array} \end{array}[/tex]

всичко в една система и трябва да се реши спрямо [tex]\lambda[/tex]

[frozzy]

Изключително много ви благодаря за съдействието.