Полиноми - кратност на корен

[shana]

Трябва ми помощ за тази задача. Решавам я само до намирането на първия корен. Не знам как да продължа. Разглеждам подобни задачи, но не ми става ясно от къде идват едни числа, пък ги няма никъде.
Намерете кратността на корена α=1
f(x)=x8-16x5+30x4-16x3+1
Решение:
Имаме, че f(1)=18-16*15+30*14-16*13+1=1-16+30-16+1=0 следователно α=1 е корен на f(x).
Производната на f(x) е f '(х)=
Благодаря предварително на отзовалите се!

[peyo]

Намерете кратността на корена α=1
f(x)=x8-16x5+30x4-16x3+1

Предполагам това е колко пъти можем да разделим $x^8-16x^5+30x^4-16x^3+1$ на $x-1$ ? Аз се сещам за поне 3 начина да разделим полином на едночлен, но тази задача явно ще ни накара да повторим това деление няколко пъти, затова ще използваме компютър:

Да видим:

Код: Избери целия код

In [389]: pol = x**8-16*x**5+30*x**4-16*x**3+1, 0

In [390]: n = 0

In [391]: while True:
     ...:     pol = div( pol[0], x-1 )
     ...:     if pol[1] == 0:
     ...:         n+=1
     ...:         print( n, pol )
     ...:     else:
     ...:         break
     ...: print( pol )

1 (x**7 + x**6 + x**5 - 15*x**4 + 15*x**3 - x**2 - x - 1, 0)
2 (x**6 + 2*x**5 + 3*x**4 - 12*x**3 + 3*x**2 + 2*x + 1, 0)
3 (x**5 + 3*x**4 + 6*x**3 - 6*x**2 - 3*x - 1, 0)
4 (x**4 + 4*x**3 + 10*x**2 + 4*x + 1, 0)
(x**3 + 5*x**2 + 15*x + 19, 20)


4-ри пъти успяхме.

Значи:
$(x-1)^4(x^4 + 4x^3 + 10x^2 + 4x + 1)$

[Skygear]

Виждам, че е много стар поста, но ме яде отвътре да спомена, че в поле с характеристика нула, имаме че [tex]\alpha[/tex] е k кратен корен на полином f [tex]\Leftrightarrow[/tex] f([tex]\alpha[/tex]) = f'([tex]\alpha[/tex]) = ... f[tex]^{(k-1)}[/tex]([tex]\alpha[/tex]) = 0, но f[tex]^{(k)}[/tex]([tex]\alpha[/tex]) [tex]\ne[/tex] 0

[peyo]

Виждам, че е много стар поста, но ме яде отвътре да спомена, че в поле с характеристика нула, имаме че [tex]\alpha[/tex] е k кратен корен на полином f [tex]\Leftrightarrow[/tex] f([tex]\alpha[/tex]) = f'([tex]\alpha[/tex]) = ... f[tex]^{(k-1)}[/tex]([tex]\alpha[/tex]) = 0, но f[tex]^{(k)}[/tex]([tex]\alpha[/tex]) [tex]\ne[/tex] 0

Ок, доколкото разбирам, вместо да делим k пъти ще диференцираме k пъти? Да видим:

Код: Избери целия код

var("x")
pol = x**8-16*x**5+30*x**4-16*x**3+1
k=0
while True:
   k+=1
   pol = pol.diff()
   if pol.subs(x,1) != 0:
      print(k)
      break


4

Отговора съвпада, може би този метод е верен също.

[Skygear]

Да, просто диференцирането на полиноми е по-лесно от делението(всъщност това е формална производна, но това са детайли). После ако се сетя, мога да ти пратя доказателство. Правата посока мисля, че ставаше с някаква индукция по k.