Задача от полиними

[pandora]

Здравейте!
Някой може ли да помогне с решаване на тази задачa?

Да се разложат на неразложими множители над полето на рационалните числа полиномите:
1) f(x)=2x^5-5x^4-2x^3+5x^2+4x+4
2) f(x)=x^4+2x^3+2x^2+x+3

[KOPMOPAH]

Прочети какво съм писал ТУК

За първия полином лесно се проверява, че $f(-1)=0$, следователно единият множител е $(x+1)$. Делиш на $(x+1)$ и получаваш следващия полином от по-ниска степен. За него пак проверяваш кои делители на свободния член го нулират. В случая $f(2)=0$, значи трябва да делиш на $(x-2)$. И така, докато получиш окончателно$$f(x)=(x+1)(x-2)^2(2x^2+x+1)$$

Във втория полином има сгрешен знак. В този вид е неразложим.

Скрит текст: покажи

Можеш да използваш това чудесно улеснение, но ако искаш да разбереш какво става - чети!

[Гост]

Видях калкулатора , но по-скоро обясненията вършат по-добра работа от него. Благодаря!

[Гост]

Да се разложат на неразличими множители над полето на рационалните числа полиномите
1) f(x) = x5 − 3x4 + 5x3 − 15x2 + 9x − 27

2) f(x) = x4 − 2x3 + x2 - 8x + 3.

[ammornil]

Да се разложат на неразличими множители над полето на рационалните числа полиномите
1) f(x) = x5 − 3x4 + 5x3 − 15x2 + 9x − 27

2) f(x) = x4 − 2x3 + x2 - 8x + 3.

Ето как аз бих подходил към проблема ако нямах компютър под ръка...

Скрит текст: покажи

Съгласно метод на Хорнер, ако полином от ента степен има реални рационални корени, то те са сред делителите на свободния член.

[tex]f(x)=x^{5}-3x^{4}+5x^{3}-15x^{2}+9x-27,[/tex]свободният член е [tex]27=1\cdot{3^{3}}[/tex] с делители [tex]\pm1; \pm3; \pm9; \pm27[/tex]
За всеки от делителите на свободния член прилагаме метода на Хорнер. [tex]\large{1}\normalsize{\cdot{x^{5}}}\large{-3}\normalsize{\cdot{x^{4}}}\large{+5}\normalsize{\cdot{x^{3}}}\large{-15}\normalsize{\cdot{x^{2}}}\large{+9}\normalsize{\cdot{x}}\large{-27}=0[/tex]
[tex]\begin{matrix} x=? & +1 & -3 & +5 & -15 & +9 & -27 & \text{заключение} \\ x=\color{red} 1 & \color{green}\fbox{1} & \color{red}{1} \color{green}\cdot{1}\color{black}+(-3)\fbox{=-2} & \color{red}{1} \color{black}\cdot{(-2)}+(+5)\fbox{=-3} & \color{red}{1} \color{black}\cdot{(-3)}+(-15)\fbox{=-18} & \color{red}{1} \color{black}\cdot{(-18)}+(+9)\fbox{=-9} & \color{red}{1} \color{black}\cdot{(-9)}+(-27)\fbox{=-36} & \text{ ако в последната колона не получим нула, то избраният корен не е решение } \end{matrix}[/tex]

Така пробваме с преполагаемите корени и ако получим нула, сме намерили едно решение.
[tex]\begin{matrix} x=? & +1 & -3 & +5 & -15 & +9 & -27 & \text{заключение} \\ x=\color{red} 3 & \color{green}\fbox{1} & \color{red}{3} \color{green}\cdot{1}\color{black}+(-3)\fbox{=0} & \color{red}{3} \color{black}\cdot{(0)}+(+5)\fbox{=5} & \color{red}{3} \color{black}\cdot{(5)}+(-15)\fbox{=0} & \color{red}{3} \color{black}\cdot{(0)}+(+9)\fbox{=9} & \color{red}{3} \color{black}\cdot{(9)}+(-27)\fbox{=0} & \text{ ако в последната колона получим нула, то избраният корен е решение } \end{matrix}[/tex]
Освен, че избраният корен е решение, остатъчните числа в кутийките, са коефициентите на оставащия многочлен от степен с едно по-ниска от изначалния:
[tex]f(x)=x^{5}-3x^{4}+5x^{3}-15x^{2}+9x-27=(x-3)(1\cdot{x^{4}}+0\cdot{x^{3}}+5\cdot{x^{2}}+0\cdot{x^{1}}+9\cdot{x^{0}}=(x-3)(x^{4}+5x^{2}+9)[/tex]

[tex]x^{4}+5x^{2}+9[/tex] е биквадратен тричлен и можем да разложим с полагане. [tex]t=x^{2}>0 \Rightarrow x^{4}+5x^{2}+9=t^{2}+5t+9, D_{t}=5^{2}-4\cdot{9}<0[/tex] следователно не се разлага на реални (рационални) множители, с което разлагането на първия израз приключи.$$ f(x)= (x-3)(x^{4}+5x^{2}+9)$$

За втория израз имаме:
[tex]f(x)=x^{4} -2x^{3}+x^{2}-8x+3; \hspace{2em} 3=1\cdot{3} \rightarrow \pm1; \pm3[/tex]
За съжаление, този израз няма рационални корени. Други начини за разлагане, включват графично намиране на нулите, използване на подходящи полагания, използване на метода на Нютън-Рафсън (редактирано, благодарение на уточнение от grav [Благодаря (за което)!]).
[tex]f(x)=x^{4} -2x^{3}+x^{2}-8x+3=\left(x- \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)(x^{2}+x+3)[/tex]

[grav]

... Нютън-Рафсон (или Нютон-Рапсон).

Нютън-Рафсън