Граници на числови редици

[Nervniq]

1.) [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^6}{(n+1)^7-n^7}[/tex]

2.) Да се докаже, че [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{2^n}{n^n}=0[/tex]

3.) [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{a_k n^k+a_ {k-1} n^{k-1}+...+a_0}{b_l n^l+b_{l-1} n^{l-1}+...+b_0}[/tex], където а[tex]\ne[/tex]0 и b[tex]\ne[/tex]0

Благодаря предварително.

[peyo]

1.) [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^6}{(n+1)^7-n^7}[/tex]

Я да пробвам това. Да разтворим всички скоби:

[tex]\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^6}{(n+1)^7-n^7} = \lim_{n \to \infty } \frac{n^{6} + 6 n^{5} + 15 n^{4} + 20 n^{3} + 15 n^{2} + 6 n + 1}{7 n^{6} + 21 n^{5} + 35 n^{4} + 35 n^{3} + 21 n^{2} + 7 n + 1}[/tex]

И тук си спомняме, че имаше едно правило, че когато степените на двата полинома отгоре и отдолу са равни то границата е равна на отношението на коефицентите пред най-големите степени, тоест:

$= \frac{1}{7}$

Това дори много лесно се доказва, като разделим горе и долу на $n^6$

[S.B.]

1.) [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^6}{(n+1)^7-n^7}[/tex]


Благодаря предварително.

1).[tex]\lim_{n \to \infty } \frac{ (n + 1)^{6} }{ (n + 1)^{7} - n^{7} } =[/tex]

По правило се изнася аргумента с най - висока степен:

[tex]= \lim_{n \to \infty }\displaystyle \frac{[n(1 + \displaystyle\frac{1}{n})] ^{6} }{ [n(1 + \displaystyle\frac{1}{n})] ^{7} - n^{7} } = \lim_{n \to \infty }\displaystyle \frac{ n^{6} (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{6} }{ n^{7}[ (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{7} - 1]} = \lim_{n \to \infty }\displaystyle \frac{ (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{6} }{n.[ (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{7} - 1 ]} = \lim_{n \to \infty }\displaystyle \frac{1}{n}.\displaystyle \frac{ (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{6} }{ (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{7} - 1}[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty }(1 + \frac{1}{n}) = 1[/tex]
Тогава [tex]\lim_{n \to \infty }[ (1 + \frac{1}{n}) ^{7} - 1] = 0[/tex]

Може би греша някъде,но получавам,че или границата е неопределена ,или условието не е коректно и в знаменателя би трябвало да стои знак "+" , а не "-":

[ptj]

За втората малка подсказка:
1.) Редицата ти е монотонно намаляваща и ограничена отдолу от 0-лата.
2.)Взимаш някоя нейна сходяща подредица, например [tex]n=2k,k \in N[/tex] .
3.) Прилагаш милиционерската теорема.

[peyo]

3.) [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{a_k n^k+a_ {k-1} n^{k-1}+...+a_0}{b_l n^l+b_{l-1} n^{l-1}+...+b_0}[/tex], където а[tex]\ne[/tex]0 и b[tex]\ne[/tex]0

Това е генералния случай на решението ми на 1.) по-горе.

Тоест когато $k=l$, то отговора е $\frac{a_k}{b_l}$ както в 1.).

Когато $k<l$, то отговора е $0$

Когато $k>l$, то отговора е [tex]\infty[/tex]

Бих казал, че това е очевидно, но ако трябва да се докаже, то това с изваждане на най-голямата степен пред скоби и съкращаване на каквото можем и остават само (1+0+0 ...) или нещо подобно и всичко изчезва с изключение на най-голямата степен. И когато тя е горе е [tex]\infty[/tex], а когато е долу е $0$.

[Nervniq]

1.) [tex]\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)^6}{(n+1)^7-n^7}[/tex]


Благодаря предварително.

1).[tex]\lim_{n \to \infty } \frac{ (n + 1)^{6} }{ (n + 1)^{7} - n^{7} } =[/tex]

По правило се изнася аргумента с най - висока степен:

[tex]= \lim_{n \to \infty }\displaystyle \frac{[n(1 + \displaystyle\frac{1}{n})] ^{6} }{ [n(1 + \displaystyle\frac{1}{n})] ^{7} - n^{7} } = \lim_{n \to \infty }\displaystyle \frac{ n^{6} (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{6} }{ n^{7}[ (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{7} - 1]} = \lim_{n \to \infty }\displaystyle \frac{ (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{6} }{n.[ (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{7} - 1 ]} = \lim_{n \to \infty }\displaystyle \frac{1}{n}.\displaystyle \frac{ (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{6} }{ (1 + \displaystyle \frac{1}{n}) ^{7} - 1}[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty }(1 + \frac{1}{n}) = 1[/tex]
Тогава [tex]\lim_{n \to \infty }[ (1 + \frac{1}{n}) ^{7} - 1] = 0[/tex]

Може би греша някъде,но получавам,че или границата е неопределена ,или условието не е коректно и в знаменателя би трябвало да стои знак "+" , а не "-":

Така е дадено по условие Благодаря )

[Nervniq]

Благодаря на всички за помощта. Имам малко нужда да видя как се решават пълно