Аналитична геометрия

[Гост]

Ако някой може да удари едно рамо ще съм благодарен:
Относно ДКС Oxy са дадени точките A(0, 2), B(3 , 0) и C(−4, −5).
Да се намери уравнението на окръжността k с диаметър отсечката AB.
Да се намерят уравненията на допирателните към окръжността k, които минават през точката C.

[Гост]

ll.PNG (79 KiB) Прегледано 1025 пъти

[Гост]

l1l2.PNG (29.26 KiB) Прегледано 1019 пъти

[peyo]

Ако някой може да удари едно рамо ще съм благодарен:
Относно ДКС Oxy са дадени точките A(0, 2), B(3 , 0) и C(−4, −5).
Да се намери уравнението на окръжността k с диаметър отсечката AB.
Да се намерят уравненията на допирателните към окръжността k, които минават през точката C.

Окъжността Q e с център средата на AB и радиус половината от дължината на AB = $\sqrt{3^2 + 2^2}/2 = \sqrt{13}/2$

$Q= (x-1.5)^2 + (y-1)^2 - 13/4 $

Права L която е допирателна на окръжността в параметричен вид ще е (това са разменените и с обърнат знак нормали):
$u = x + -F_y t $
$v = y + F_x t$

In [99]: latex(diff((x-1.5)**2 + (y-1)**2 - 13/4, x))
Out[99]: '2.0 x - 3.0'

In [100]: latex(diff((x-1.5)**2 + (y-1)**2 - 13/4, y))
Out[100]: '2 y - 2'

$u = x - (2 y - 2) t $
$v = y + (2x - 3) t $

Елиминираме t:
$(u - x)/(- (2 y - 2)) = (v - y)/(2x - 3) $

$ L = (u - x)(2x - 3) + (v - y)(2 y - 2) $

И сега търсим решение на системата:
[tex]\begin{array}{|l} (u,v)=(-4,-5) \\ L=0 \\ Q=0 \end{array}[/tex]

Да видим:
[tex]\begin{array}{|l} (-4 - x)(2x - 3) + (-5 - y)(2 y - 2) = 0 \\ (x-1.5)^2 + (y-1)^2 - 13/4 =0 \end{array}[/tex]

In [123]: solve( [ (x-1.5)**2 + (y-1)**2 - 13/4, (-4-x)*(2*x-3) + (-5-y)*(2*y-2)] , [x,y])
Out[123]:
[(-0.0657287264532092, 1.89358466591544),
(2.52610608494378, -0.482263911198461)]

И сега да заместим тези стойности в L:

In [124]: for vx,vy in solve( [ (x-1.5)**2 + (y-1)**2 - 13/4, (-4-x)*(2*x-3) + (-5-y)*(2*y-2)
...: ] , [x,y]):
...: ^Iprint( latex( expand((u - x)*(2*x - 3) + (v - y)*(2*y - 2)).subs(x,vx).subs(y,vy)
...: ))
...:
$L_1 = - 3.13145745290642 x + 1.78716933183088 y - 3.58998315247126 $
$L_2 = 2.05221216988755 x - 2.96452782239692 y - 6.6137904324344 $

Да видим какво сме получили:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-1.5%29%5E2+%2B+%28y-1%29%5E2+-+13%2F4+%3D+0%2C+-+3.13145745290642+x+%2B+1.78716933183088+y+-+3.58998315247126+%3D+0%2C+2.05221216988755+x+-+2.96452782239692+y+-+6.6137904324344+%3D+0

MSP568414d6g680hch695e900005236e9dd1199341g.gif (9.5 KiB) Прегледано 1005 пъти