Сравнителна трудност на STEP с 1-ви курс ФМИ + пример.

[Skygear]

На скоро се заинтересовах от задачите от изпита STEP (приемен изпит по математика за Кеймбридж). Тъй като там са малко по-напред, материалът ми изглежда долу горе съвпадащ на този с 1-ви курс във ФМИ. Кое мислите, че е по-трудно. Също така, дали решаване на задачи от този изпит би се водило "добра подготовка" за математическите специалностти? Давам няколко примера, че да се впише поста във форума :

"Дефиницията на пройзводната [tex]f'[/tex] на диференцуема функция [tex]f[/tex] е:
[tex]f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex] [tex](*)[/tex]

(i) Функцята [tex]f[/tex] има производна [tex]f'[/tex] и удовлетворява:
[tex]f(x+y) = f(x)f(y)[/tex]
за всяко [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex], и [tex]f'(0) = k[/tex], където [tex]k \ne 0[/tex]. Да се докаже, че [tex]f(0) = 1[/tex].
Използвайки [tex](*)[/tex], докажете че [tex]f'(x) = kf(x)[/tex] и намерете [tex]f(x)[/tex] от към [tex]x[/tex] и [tex]k[/tex]

(ii) Функцията [tex]g[/tex] има пройзводна [tex]g'[/tex] и удовлетворява:
[tex]g(x+y) = \frac{g(x) + g(y)}{1+g(x)g(y)}[/tex]
за всяко [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex], [tex]|g(x)|<1[/tex] за всяко [tex]x[/tex], и [tex]g'(0) = k[/tex], където [tex]k \ne 0[/tex]
Намерете [tex]g'(x)[/tex] от към [tex]g(x)[/tex] и [tex]k[/tex], и следователно намерете [tex]g(x)[/tex] от към [tex]x[/tex] и [tex]k[/tex]
"

"Намерете целите корени на квинтичното уравнение:
[tex]135x^5 - 135x^4 - 100x^3 - 91x^2 - 126x + 135 = 0[/tex]
"
Повече примери май няма да давам, че TeX-а много боли

[Гост]

Tия задачи не са трудни, но се впечатляваш, щото не си им свикнал. Даскалите от всяко училище си пробутват такива задачи, с които са свикнали. Така например, ако ти им предложиш тази тази "елементарна" задача за куб, те ща гледат кат опосуми, щот не са свикнали на геометрия. В България, понеже е станала жалка западна колония, геометрията също леко-полеко изчезва. Тая тенденция има и в Русия. Има и друго-в България пък много се впечатляват от статистики, комбинаторики, вероятности и други "глупости" . Нещо, което не представлява никакъв проблем за средностатистическия американски средношколец например.

[peyo]

"Намерете целите корени на квинтичното уравнение:
[tex]135x^5 - 135x^4 - 100x^3 - 91x^2 - 126x + 135 = 0[/tex]
"

Хм... Тук мисля можем да приложим Rational root theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem

И тук като търсим само цели корени а не рационални можем да се ограничим проверките само до делителите на свободния член 135 = 5*3*3*3 или имаме да проверим
1,3,5,9,15,45,135, -1,-3,-5,-9,-15,-45,-135

Това сигурно може да се направи и без калкулатор, но не виждам да е лесно:

In [51]: f = 135*x**5 - 135*x**4 - 100*x**3 - 91*x**2 - 126*x + 135

In [52]: f.subs(x,1)
Out[52]: -182

In [54]: f.subs(x,-1)
Out[54]: 0

In [55]: f.subs(x,-3)
Out[55]: -41346

In [56]: f.subs(x,3)
Out[56]: 18108

In [57]: f.subs(x,5)
Out[57]: 322230

In [67]: f.subs(x,-5)
Out[67]: -495260

In [59]: f.subs(x,9)
Out[59]: 7004610

In [60]: f.subs(x,-9)
Out[60]: -8790552

In [58]: f.subs(x,15)
Out[58]: 95321520

In [61]: f.subs(x,-15)
Out[61]: -109030950

In [62]: f.subs(x,-45)
Out[62]: -25455947220

In [63]: f.subs(x,45)
Out[63]: 24348410190

In [64]: f.subs(x,135)
Out[64]: 6008357093400

In [66]: f.subs(x,-135)
Out[66]: -6098041078830

И така единствения цял корен е -1.

Дали това се очаква от решаващите? Може би има друго хитро решение някакво? Например бързо с отгатване намираме първия корен -1 и после някак доказваме, че няма други цели решения например, но не съм сигурен как, защото има други реални решения.

[Skygear]

"Намерете целите корени на квинтичното уравнение:
[tex]135x^5 - 135x^4 - 100x^3 - 91x^2 - 126x + 135 = 0[/tex]
"

Хм... Тук мисля можем да приложим Rational root theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem

И тук като търсим само цели корени а не рационални можем да се ограничим проверките само до делителите на свободния член 135 = 5*3*3*3 или имаме да проверим
1,3,5,9,15,45,135, -1,-3,-5,-9,-15,-45,-135

Това сигурно може да се направи и без калкулатор, но не виждам да е лесно:

In [51]: f = 135*x**5 - 135*x**4 - 100*x**3 - 91*x**2 - 126*x + 135

In [52]: f.subs(x,1)
Out[52]: -182

In [54]: f.subs(x,-1)
Out[54]: 0

In [55]: f.subs(x,-3)
Out[55]: -41346

In [56]: f.subs(x,3)
Out[56]: 18108

In [57]: f.subs(x,5)
Out[57]: 322230

In [67]: f.subs(x,-5)
Out[67]: -495260

In [59]: f.subs(x,9)
Out[59]: 7004610

In [60]: f.subs(x,-9)
Out[60]: -8790552

In [58]: f.subs(x,15)
Out[58]: 95321520

In [61]: f.subs(x,-15)
Out[61]: -109030950

In [62]: f.subs(x,-45)
Out[62]: -25455947220

In [63]: f.subs(x,45)
Out[63]: 24348410190

In [64]: f.subs(x,135)
Out[64]: 6008357093400

In [66]: f.subs(x,-135)
Out[66]: -6098041078830

И така единствения цял корен е -1.

Дали това се очаква от решаващите? Може би има друго хитро решение някакво? Например бързо с отгатване намираме първия корен -1 и после някак доказваме, че няма други цели решения например, но не съм сигурен как, защото има други реални решения.

Писах доста на заспало, това всъщност е последната подчаст от задача с 2 подчасти, като първата подчаст е разделена на 3 подточки Ще прикача цялата задача, нямам нерви да я въвеждам с TeX. Тази точно е от 2-рия изпит за 2019, може да ги намериш тук. Има и подробни решения и схема за оценяване. Не искам да гледам решенията, че не съм ги пробвал още тия задачи. Иначе на изпит не ти дават нито книжка с формули, нито калкулатор, което за мен го прави малко досадно, една рутинна книжка като справочника на ФМИ можеха да позволят .