Индукция (В култа)!

[Skygear]

Натъкнах се на следната задача:
"Предположете обща формула, с която да се опрости [tex](1 - \frac{1}{4})(1 - \frac{1}{9})(1-\frac{1}{16})...(1 - \frac{1}{n^2})[/tex] и я докажете. Алтернативно я изведете директно. "

Можете ли да препоръчате подобни задачи? Доста ми хареса, но тази точно е доста лесна.

[Davids]

И ся ако не беше казал, че е лесна, щях да се чувствам по-готино
Взимаме израза в нотация за големи батковци и почваме да преобразуваме:
$\prod_{k=2}^n\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \prod_{k=2}^n\frac{k^2-1}{k^2} = \prod_{k=2}^n\frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \frac{\left[\prod_{k=2}^n(k-1)\right]\left[\prod_{k=2}^n(k+1)\right]}{\prod_{k=2}^nk^2} = \frac{(n-1)!\frac{(n+1)!}{2}}{\left(n!\right)^2} = \frac{n+1}{2n}$
Което май си беше варианта с директното извеждане, така че няма какво да му доказваме

[Skygear]

И ся ако не беше казал, че е лесна, щях да се чувствам по-готино
Взимаме израза в нотация за големи батковци и почваме да преобразуваме:
$\prod_{k=2}^n\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = \prod_{k=2}^n\frac{k^2-1}{k^2} = \prod_{k=2}^n\frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \frac{\left[\prod_{k=2}^n(k-1)\right]\left[\prod_{k=2}^n(k+1)\right]}{\prod_{k=2}^nk^2} = \frac{(n-1)!\frac{(n+1)!}{2}}{\left(n!\right)^2} = \frac{n+1}{2n}$
Което май си беше варианта с директното извеждане, така че няма какво да му доказваме

Директното изваждане признавам, че е малко по-сложно, ако ли не само заради нотацията .

[Skygear]

Да добавя още един тип интересна задача, от които ми се иска да намеря повече:

"Докажете следното твърдение чрез индукция: Ако е дадена отсечка с единична дължина (line of unit length, не съм сигурен как точно му викаме по нашему), то тогава може, чрез линийка и компас, да се построй отсечка с дължина [tex]\sqrt{n}[/tex], за всяко положително цяло [tex]n[/tex]"

Ако може покажете пък и без индукция как стават тия номера

[Гост]

"построй" - пише се "построи"
"компас" е пергел
line of unit length - сигурно е "единична отсечка"
Започва се от равнобедрен правоъгълен триъгълник.
Хипотенузата му е с дължина [tex]\sqrt{2}[/tex].
После отсечката с дължина [tex]\sqrt{2}[/tex] може да послужи за катет на правоъгълен триъгълник с втори катет 1. Така хипотенузата на новия триъгълник ще е [tex]\sqrt{3}[/tex] ...

[Skygear]

"построй" - пише се "построи"
"компас" е пергел
line of unit length - сигурно е "единична отсечка"
Започва се от равнобедрен правоъгълен триъгълник.
Хипотенузата му е с дължина [tex]\sqrt{2}[/tex].
После отсечката с дължина [tex]\sqrt{2}[/tex] може да послужи за катет на правоъгълен триъгълник с втори катет 1. Така хипотенузата на новия триъгълник ще е [tex]\sqrt{3}[/tex] ...

Ооф F за грешката с "компаса" Ама пък така става по-интересна задача ... Тей де, в крайна сметка въпросът беше за подобни задачи ... а за втората "или без индукция".

[Гост]

Подобни задачи има много. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/ ... am1998.pdf задача 3 от тук и задача 3 от тук https://cms.math.ca/wp-content/uploads/ ... am1997.pdf
За втората публикувана задача - може да се базираме на "хващане на логика по шаблон и вид телескопични изпълнения"

[Skygear]

Подобни задачи има много. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/ ... am1998.pdf задача 3 от тук и задача 3 от тук https://cms.math.ca/wp-content/uploads/ ... am1997.pdf
За втората публикувана задача - може да се базираме на "хващане на логика по шаблон и вид телескопични изпълнения"

Мерси, интересни изглеждат задачите! Сега пък може да я превърнем тая тема в решаване на дадените задачи

[Гост]

Има и решения на задачите на посочения сайт. Вероятно е възможно да се намерят и други решения.