Доказателства

[Гост]

Здравейте!
Има ли някой, който може да докаже тези уравнения и да ми ги обясни, понеже нещо не мога да се справя.
Благодаря предварително!

[Davids]

Ако тълкуваме нотацията в първата като втора производна на функцията вдясно, то задачата става тривиално тъждество, валидно и без интегралите.
Отляво: $\sin x \frac{d^2}{dx^2}\cos x = \sin x \frac{d} {dx} (-\sin x) = - \sin x\cos x$
Отдясно: $\cos x \frac{d^2}{dx^2}\sin x = \cos x \frac{d} {dx} \cos x = - \sin x\cos x$

За втората даже е странно да я наричаме доказателство, да го наречем пресмятане на определен интеграл

Решаваме чрез субституция: $t:= x - \frac{\pi} {2}\Rightarrow dt = dx$ и границите стават съответно от $-\frac{\pi} {2}$ до $\frac{\pi} {2}$. Значи пресмятаме:
$\int_{-\frac{\pi} {2}} ^{\frac{\pi} {2}} - \cos t\sin tdt$.

Имаш нечетна функция върху симетричен интервал, значи стойността е 0.

[KOPMOPAH]

За втората задача може също да се използва, че
$$\cos x \,\mathrm{d}x=\mathrm{d}\left(\sin x\right)$$Тогава $$\int\limits_{0}^{\pi}\sin x\cos x\,\mathrm{d}x=\int\limits_{0}^{\pi}\sin x\, \mathrm{d}\left(\sin x\right)$$Полагайки $\sin x=u$ се стига до $$\int\limits_{0}^{\pi}u\, \mathrm{d}u$$